Teist järku juhtimissüsteemi ajavastus (läbitöötatud näide)

Juhtimissüsteemi järk määratakse selle ülekandefunktsiooni nimetaja s-tõstmise astmega.

Kui ülekandefunktsiooni nimetajal on s-tõstmine astmes 2, siis süsteem on teine järku juhtimissüsteem.

Teine järku juhtimissüsteemi ülekandefunktsiooni üldine väljend on järgmine

Siin on ζ ja ωn vastavalt süsteemi dempingratio ja omanlik katskfrekvents (need mõisted uuritakse detailsemalt hiljem).

Valemite ümberkorraldamisel saame süsteemi väljundiks järgmise

Kui võtame ühikuastme funktsiooni süsteemi sisendina, siis süsteemi väljundvõrrand kirjutatakse ümber nii:

Võttes ülaltoodud valemist Laplace'i pöördteisenduse, saame

Ülaltoodud väljundi c(t) avaldus saab kirjutada ümber nii:

Signaali reageerimise vea antakse e(t) = r(t) – c(t), seega.

Ülaltoodust avaldusest nähtub selgelt, et signaali vea tüüp on heiveldav, kui eksponentsiaalselt laguneva suurusega, kui ζ < 1.

Heivelduse sagedus on ωd ja eksponentsiaalse lagunemise aegkonstant on 1/ζωn.

Kusjuures, ωd, tuntakse heivelduse dämpitud sagedusena, ja ωn on heivelduse omanlik sagedus. Tähistis ζ mõjutab palju dämpimist ja seetõttu seda tähistust nimetatakse dämpingulukuna.

Väljundsignaali käitumine on erinev, sõltuvalt dämpingulukust, ja uurime iga juhtumi üksikutes.

Selle aluse kasutades analüüsime teine järku juhtimissüsteemi aja vastust. Selleks analüüsime teine järku juhtimissüsteemi ühikuastme vastust sageduspiirkonnas, enne kui see muudetakse ajapiirkonda.

Teine järku süsteemi astmevastus

Kui dämpinguluku on null, saame ülaltoodud väljundsignaali avalduse ümber kirjutada nii:

Kuna selles avalduses ei ole eksponentsiaalset liiget, on kontrollisüsteemi aja vastus undamped ühikuastme sisendifunktsioonil, kui dämpinguluku on null.

Lehe 137. Figuur 6.4.3. raamatus "Automatic Control System" Hasanilt.

Nüüd uurime juhtumit, kui dämpinguluku on üks.



Selles väljundsignaali avalduses ei ole ühikuastme funktsioonis heiveldav osa. Seetõttu on see teine järku juhtimissüsteemi aja vastus kriitiliselt dämpitud.

Nüüd uurime teine järku juhtimissüsteemi aja vastust ühikuastme sisendifunktsioonile, kui dämpinguluku on suurem kui üks.

Võttes ülaltoodud valemist Laplace'i pöördteisenduse, saame


Ülaltoodud avalduses on kaks aegkonstanti.

Väärtuse ζ korral, mis on palju suurem kui üks, saab unustada kiirema aegkonstandi mõju aja vastusele ja lõplik aja vastuse avaldus saab kujul

Figuur 6.4.5 lehel 139 raamatus "Automatic Control System" Hasanilt.

Kriitiline dämpimine juhtimissüsteemi aja vastuses

Teine järku juhtimissüsteemi aja vastuse avaldus ühikuastme sisendifunktsioonile on järgmine.

Negatiivse eksponentsiaaltermi konstandi pöördväärtus väljundsignaali veaosas on tegelikult vastutav väljundvastuse dämpimise eest.

Selles võrrandis on see ζωn. Negatiivse eksponentsiaaltermi konstandi pöördväärtus veesignaalil on tuntud kui aegkonstant.

Oled juba uurinud, et kui väärtus ζ (ka teada kui dämpinguluku) on väiksem kui üks, siis vastuse heiveldamine eksponentsiaalselt laguneb aegkonstandiga 1/ζωn. See on tuntud kui alladämpitud vastus.

Teisalt, kui ζ on suurem kui üks, ei näita ühikuastme sisendifunktsioonile antud vastus heiveldavat osa.

See on tuntud kui üladämpitud vastus. Oled ka uurinud olukorda, kus dämpinguluku on üks, st ζ = 1.

Sellisel olukorral vastuse dämpimist määrab ainult omanlik frekvents ωn. Tegelik dämpimine sellisel tingimusel on tuntud kui kriitiline dämpimine.