Odpowiedź czasowa układu sterowania drugiego rzędu (przykład obliczeniowy)

Rząd systemu sterowania jest określany przez potęgę ‘s’ w mianowniku jego transmitancji.

Jeśli potęga s w mianowniku transmitancji systemu sterowania wynosi 2, to system nazywamy systemem sterowania drugiego rzędu.

Ogólny wyrażenie transmitancji systemu sterowania drugiego rzędu przedstawia się jako

Tutaj, ζ i ωn są współczynnikiem tłumienia i częstotliwością własną systemu, odpowiednio (dowiedziemy się o tych dwóch terminach szczegółowo później).

Przekształcając powyższe równanie, wyjście systemu przedstawia się jako

Jeśli weźmiemy pod uwagę funkcję skokową jednostkową jako wejście do systemu, to równanie wyjściowe systemu można zapisać ponownie jako

Biorąc odwrotną transformację Laplace’a powyższego równania, otrzymujemy

Powyższe wyrażenie wyjścia c(t) można zapisać ponownie jako

Błąd sygnału odpowiedzi dany jest przez e(t) = r (t) – c(t), zatem.

Z powyższego wyrażenia wynika, że błąd sygnału ma charakter oscylacyjny z amplitudą eksponencjalnie malejącą, gdy ζ < 1.

Częstotliwość oscylacji wynosi ωd, a stała czasowa zaniku eksponencjalnego wynosi 1/ζωn.

Gdzie, ωd nazywane jest tłumioną częstotliwością oscylacji, a ωn jest naturalną częstotliwością oscylacji. Współczynnik ζ mocno wpływa na tłumienie, dlatego ten termin nazywany jest współczynnikiem tłumienia.

Będą różne zachowania sygnału wyjściowego, w zależności od wartości współczynnika tłumienia, przeanalizujmy każdy z przypadków kolejno.

Używając tego jako podstawy, przeanalizujemy odpowiedź czasową systemu sterowania drugiego rzędu. Zrobimy to analizując odpowiedź skokową jednostkową systemu sterowania drugiego rzędu w dziedzinie częstotliwości, zanim przekonwertujemy ją do dziedziny czasu.

Odpowiedź skokowa systemu drugiego rzędu

Gdy współczynnik tłumienia wynosi zero, możemy zapisać powyższe wyrażenie sygnału wyjściowego jako

Jako że w tym wyrażeniu nie ma wyrazu eksponencjalnego, odpowiedź czasowa systemu sterowania dla funkcji skokowej jednostkowej z zerowym współczynnikiem tłumienia jest nietłumiona.

Strona 137. Rysunek 6.4.3. książki Automatic Control System by Hasan.

Teraz przeanalizujmy przypadek, gdy współczynnik tłumienia wynosi jeden.



W tym wyrażeniu sygnału wyjściowego nie ma części oscylacyjnej dla funkcji skokowej jednostkowej. Dlatego ta odpowiedź czasowa systemu sterowania drugiego rzędu nazywana jest krytycznie tłumiona.

Teraz przeanalizujemy odpowiedź czasową systemu sterowania drugiego rzędu dla funkcji skokowej jednostkowej, gdy współczynnik tłumienia jest większy niż jeden.

Biorąc odwrotną transformację Laplace’a obu stron powyższego równania, otrzymujemy,


W powyższym wyrażeniu są dwie stałe czasowe.

Dla wartości ζ znacznie większej niż jeden, wpływ szybszej stałej czasowej na odpowiedź czasową można zaniedbać, a ostateczne wyrażenie odpowiedzi czasowej wygląda następująco

Rysunek 6.4.5 strony 139 książki Automatic Control System by Hasan.

Krytyczna odpowiedź czasowa systemu sterowania

Wyrażenie odpowiedzi czasowej systemu sterowania drugiego rzędu poddanego funkcji skokowej jednostkowej przedstawione jest poniżej.

Odwrócona stała potęgi ujemnej wykładniczej w części błędów sygnału wyjściowego jest właściwie odpowiedzialna za tłumienie odpowiedzi wyjściowej.

W tym równaniu jest to ζωn. Odwrotna stała potęgi ujemnej wykładniczej w sygnale błędu nazywana jest stałą czasową.

Już wcześniej zbadaliśmy, że gdy wartość ζ (znana również jako współczynnik tłumienia) jest mniejsza niż jedność, oscylacje odpowiedzi tłumione są eksponencjalnie ze stałą czasową 1/ζωn. To nazywane jest niedotłumioną odpowiedzią.

Z drugiej strony, gdy ζ jest większe niż jedność, odpowiedź na wejście skokowe jednostkowe podane do systemu, nie zawiera części oscylacyjnej.

To nazywane jest nadotłumioną odpowiedzią. Przeanalizowaliśmy również sytuację, gdy współczynnik tłumienia wynosi jedność, czyli ζ = 1.

W tej sytuacji tłumienie odpowiedzi jest kierowane przez częstotliwość własną ωn tylko. Faktyczne tłumienie w tym stanie nazywane jest krytycznym tłumieniem odpowiedzi.