Χρονική Απόκριση Συστήματος Δευτεροβάθμιας Ελέγχου (Εργασμένο Παράδειγμα)
Η τάξη ενός συστήματος ελέγχου καθορίζεται από τη δύναμη του ‘s’ στο παρονομαστή της μεταφορικής συνάρτησής του.
Εάν η δύναμη του s στο παρονομαστή της μεταφορικής συνάρτησης ενός συστήματος ελέγχου είναι 2, τότε το σύστημα λέγεται δευτεροβάθμιο σύστημα ελέγχου.
Η γενική έκφραση της μεταφορικής συνάρτησης ενός δευτεροβάθμιου συστήματος ελέγχου δίνεται ως
Εδώ, ζ και ωn είναι ο λόγος άμβλυνσης και η φυσική συχνότητα του συστήματος, αντίστοιχα (θα μάθουμε λεπτομερώς για αυτά τα δύο όρους αργότερα).
Με την αναδιάταξη της παραπάνω σχέσης, η έξοδος του συστήματος δίνεται ως
Εάν θεωρήσουμε μια μοναδιαία βηματική συνάρτηση ως είσοδο του συστήματος, τότε η εξίσωση έξοδου του συστήματος μπορεί να αναγραφεί ως
Παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της παραπάνω εξίσωσης, παίρνουμε
Η παραπάνω έκφραση της έξοδου c(t) μπορεί να αναγραφεί ως
Το σφάλμα του σήματος της απόκρισης δίνεται από e(t) = r (t) – c(t), και επομένως.
Από την παραπάνω έκφραση είναι σαφές ότι το σφάλμα του σήματος είναι τύπου ταλάντωσης με εκθετικά μειωμένη μέγεθος όταν ζ < 1.
Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι ωd και η σταθερά χρόνου της εκθετικής μείωσης είναι 1/ζωn.
Όπου, ωd, αναφέρεται ως εξασθενημένη συχνότητα της ταλάντωσης, και ωn είναι η φυσική συχνότητα της ταλάντωσης. Ο όρος ζ επηρεάζει πολύ την άμβλυνση και, επομένως, αυτός ο όρος ονομάζεται λόγος άμβλυνσης.
Θα υπάρξουν διαφορετικές συμπεριφορές του σήματος έξοδου, με βάση την τιμή του λόγου άμβλυνσης και ας εξετάσουμε κάθε περίπτωση, μία μετά την άλλη.
Χρησιμοποιώντας αυτό ως βάση, θα αναλύσουμε την χρονική απόκριση ενός δευτεροβάθμιου συστήματος ελέγχου. Θα το κάνουμε αυτό αναλύοντας τη μοναδιαία βηματική απόκριση ενός δευτεροβάθμιου συστήματος ελέγχου στον χώρο συχνοτήτων, πριν την μετατρέψουμε στον χρονικό χώρο.
Βηματική Απόκριση Δευτεροβάθμιου Συστήματος
Όταν ο λόγος άμβλυνσης είναι μηδέν, μπορούμε να αναγράψουμε την παραπάνω έκφραση του σήματος έξοδου ως
Καθώς σε αυτή την έκφραση δεν υπάρχει εκθετικός όρος, η χρονική απόκριση του συστήματος ελέγχου είναι μη-άμβλυντη για μοναδιαία βηματική συνάρτηση είσοδου με μηδενικό λόγο άμβλυνσης.
Σελίδα 137. Σχήμα 6.4.3. του βιβλίου "Αυτόματο Σύστημα Ελέγχου" από τον Hasan.
Τώρα ας εξετάσουμε την περίπτωση όπου ο λόγος άμβλυνσης είναι μοναδιαίος.
Σε αυτή την έκφραση του σήματος έξοδου, δεν υπάρχει ταλαντώσιμο μέρος στην μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Και, επομένως, αυτή η χρονική απόκριση δευτεροβάθμιου συστήματος ελέγχου αναφέρεται ως κριτικά άμβλυντη.
Τώρα θα εξετάσουμε την χρονική απόκριση ενός δευτεροβάθμιου συστήματος ελέγχου με μοναδιαία βηματική συνάρτηση είσοδου όταν ο λόγος άμβλυνσης είναι μεγαλύτερος από ένα.
Παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και των δύο πλευρών της παραπάνω εξίσωσης, παίρνουμε,
Στην παραπάνω έκφραση, υπάρχουν δύο σταθερές χρόνου.
Για τιμή του ζ σημαντικά μεγαλύτερη από ένα, η επίδραση της γρηγορότερης σταθερής χρόνου στην χρονική απόκριση μπορεί να αγνοηθεί και η τελική έκφραση της χρονικής απόκρισης είναι
Σχήμα 6.4.5 στη σελίδα 139 του βιβλίου "Αυτόματο Σύστημα Ελέγχου" από τον Hasan.
