Časovni odziv drugega reda regulacijskega sistema (rešen primer)

Red regulacijskega sistema je določen s stopnjo 's' v imenovalcu njegove prenosne funkcije.

Če je stopnja s v imenovalcu prenosne funkcije regulacijskega sistema 2, potem se sistem imenuje sistem drugega reda.

Splošni izraz prenosne funkcije sistema drugega reda je podan kot

Tukaj so ζ in ωn zadrževalni koeficient in naravna frekvenca sistema, razno (o teh dveh pojmovih bomo podrobneje spoznali kasneje).

Z urejanjem zgornje formule je izhod sistema podan kot

Če upoštevamo enotsko korak funkcijo kot vhod sistema, lahko enačbo izhoda sistema prepisemo kot

S pomočjo obratne Laplaceove transformacije zgornje enačbe dobimo

Zgornji izraz za izhod c(t) lahko prepisemo kot

Napaka signala odziva je podana z e(t) = r (t) – c(t), in tako.

Iz zgornjega izraza je jasno, da je napaka signala oscilatornega tipa z eksponentno padajočo amplitudo, kadar je ζ < 1.

Frekvenca oscilacij je ωd in časovna konstanta eksponentnega padanja je 1/ζωn.

Kjer je ωd, označena kot zadržana frekvenca oscilacij, in ωn je naravna frekvenca oscilacij. Izraz ζ veliko vpliva na zadrževanje, zato se ta izraz imenuje zadrževalni koeficient.

Bodo različni obnašalni vzorci izhodnega signala, odvisno od vrednosti zadrževalnega koeficienta, in preučili bomo vsak primer posebej.

Na tem osnovu bomo analizirali časovni odziv sistema drugega reda. To bomo storili z analizo enotskega koraknega odziva sistema drugega reda v frekvenčnem domeni, preden ga pretvorimo v časovno domeno.

Časovni odziv sistema drugega reda

Ko je zadrževalni koeficient enak nič, lahko zgornji izraz za izhodni signal prepisemo kot

Ker v tem izrazu ni eksponentnega člena, je časovni odziv sistema nezadržan za enotski korakni vhodni signal z zadrževalnim koeficientom enakim nič.

Stran 137. Slika 6.4.3. v knjigi Avtomatski regulacijski sistemi avtorja Hasan.

Nedavno smo preučili primer, kjer je zadrževalni koeficient enak ena.



V tem izrazu za izhodni signal ni oscilatornega dela pri subjektivnem enotskem koraknemu vhodu. Zato se ta časovni odziv sistema drugega reda imenuje kritično zadržan.

Nedavno bomo preučili časovni odziv sistema drugega reda pri subjektivnem enotskem koraknemu vhodu, ko je zadrževalni koeficient večji od ena.

Z uporabo obratne Laplaceove transformacije obeh strani zgornje enačbe dobimo,


V zgornjem izrazu sta dve časovni konstanti.

Za vrednost ζ, ki je primeroma veliko večja od ena, lahko učinek hitrejše časovne konstante na časovni odziv zanemarimo in končni izraz za časovni odziv postane

Slika 6.4.5 na strani 139 v knjigi Avtomatski regulacijski sistemi avtorja Hasan.

Kritično zadrževanje časovnega odziva sistema

Časovni odziv sistema drugega reda pri subjektivnem enotskem koraknemu vhodu je podan spodaj.

Recipročna vrednost konstante negativne moči eksponentnega člena v napaki izhodnega signala je dejansko odgovorna za zadrževanje izhodnega odziva.

Tukaj v tej enačbi je to ζωn. Recipročna vrednost konstante negativne moči eksponentnega člena v napaki signala se imenuje časovna konstanta.

Večkrat smo že preučili, da, ko je vrednost ζ (tudi znana kot zadrževalni koeficient) manjša od enote, oscilacija odziva eksponentno pada z časovno konstanto 1/ζωn. To se imenuje podzadržan odziv.

Na drugi strani, ko je ζ večja od enote, odziv enotskega koraknega vhoda, podanega sistemu, ne prikazuje oscilatornega dela.

To se imenuje nadzadržan odziv. Preučili smo tudi situacijo, ko je zadrževalni koeficient enak eni, torej ζ = 1.

V tej situaciji je zadrževanje odziva določeno z naravno frekvenco ωn samo. Dejansko zadrževanje v tej situaciji se imenuje kritično zadrževanje odziva.