Tugon ng Oras ng Ikalawang Order ng Sistema ng Pagkontrol (Halimbawa ng Ginawang Pagsagot)

Ang order ng isang sistema ng pamamahala ay naaayon sa kapangyarihan ng ‘s’ sa denominator ng kanyang transfer function.

Kung ang kapangyarihan ng s sa denominator ng transfer function ng isang sistema ng pamamahala ay 2, ang sistema ay tinatawag na ikalawang order ng sistema ng pamamahala.

Ang pangkalahatang ekspresyon ng transfer function ng ikalawang order ng sistema ng pamamahala ay ibinibigay bilang

Dito, ζ at ωn ang damping ratio at natural frequency ng sistema, kani-kanila (matutunan natin ang mga terminong ito sa detalye sa huli).

Sa pagbabago ng formula sa itaas, ang output ng sistema ay ibinibigay bilang

Kung isang unit step function ang inilarawan bilang input ng sistema, ang output equation ng sistema ay maaaring isulat muli bilang

Sa pagsasama ng inverse Laplace transform ng equation sa itaas, nakukuha natin

Ang ekspresyon ng output c(t) sa itaas ay maaaring isulat muli bilang

Ang error ng signal ng tugon ay ibinibigay ng e(t) = r (t) – c(t), at kaya.

Mula sa itaas na pahayag, malinaw na ang error ng signal ay may uri ng pag-oscillate na may exponentially decaying na magnitude kapag ζ < 1.

Ang frequency ng oscillation ay ωd at ang time constant ng exponential decay ay 1/ζωn.

Kung saan, ωd, ay tinatawag na damped frequency ng oscillation, at ωn ay natural frequency ng oscillation. Ang term na ζ ay malaking nakakaapekto sa damping at kaya't tinatawag itong damping ratio.

May magkakaibang pag-uugali ang output signal, depende sa halaga ng damping ratio at suriin natin bawat isa ng isa ang bawat kaso.

Ginagamit natin ito bilang basehan upang suriin ang time response ng second order control system. Gagawin natin ito sa pamamagitan ng pagsusuri ng unit step response ng second order control system sa frequency domain, bago ito i-convert sa time domain.

Step Response ng Second Order System

Kapag ang damping ratio ay zero, maaari nating isulat muli ang itaas na pahayag ng output signal bilang

Sa pahayag na ito, walang exponential term, ang time response ng control system ay un-damped para sa unit step input function na may zero damping ratio.

Pahina 137. Figure 6.4.3. ng libro na automatic control system ni Hasan.

Ngayon, suriin natin ang kaso kung ang damping ratio ay unity.



Sa pahayag na ito ng output signal, walang oscillating part sa subjective unit step function. At kaya't ang time response ng second-order control system na ito ay tinatawag na critically damped.

Ngayon, susuriin natin ang pagtugon sa oras ng isang pangalawang order na sistema ng kontrol sa pamamagitan ng unit step input function kung saan ang damping ratio ay mas malaki kaysa sa isa.

Kumuha ng inverse Laplace transform ng parehong panig ng itaas na ekwasyon, makukuha natin,


Sa itaas na ekspresyon, mayroong dalawang oras ng konstante.

Para sa halaga ng ζ na mas malaki kumpara sa isa, maaaring i-neglect ang epekto ng mas mabilis na oras ng konstante sa pagtugon ng oras at ang huling ekspresyon ng pagtugon ng oras ay naging

Larawan 6.4.5 sa pahina 139 ng libro ng automatic control system ni Hasan.

Pagtugon sa Oras ng Kritikal na Damping ng Sistema ng Kontrol

Ang ekspresyon ng pagtugon sa oras ng isang pangalawang order na sistema ng kontrol sa pamamagitan ng unit step input function ay ibinibigay sa ibaba.

Ang reciprocal ng konstante ng negatibong kapangyarihan ng exponential term sa bahagi ng error ng output signal ay talagang responsable para sa damping ng output response.

Dito sa ekwasyong ito, ito ay ζωn. Ang reciprocal ng konstante ng negatibong kapangyarihan ng exponential term sa error signal ay kilala bilang oras ng konstante.

Nasuri na natin na kapag ang halaga ng ζ (na kilala rin bilang damping ratio) ay mas mababa kaysa sa unity, ang oscillation ng response ay nagdadaloy eksponensyal na may oras na konstante 1/ζωn. Ito ang tinatawag na under damped response.

Sa kabilang banda, kapag ang ζ ay mas malaki kaysa sa unity, ang response ng unit step input na ibinigay sa sistema, hindi nagpapakita ng oscillating part sa loob nito.

Ito ang tinatawag na over damped response. Nasuri rin natin ang sitwasyon kung saan ang damping ratio ay unity, na siya'y ζ = 1.

Sa kondisyong ito, ang damping ng response ay pinamumunuan ng natural frequency ωn lamang. Ang aktwal na damping sa kondisyong ito ay kilala bilang critical damping ng response.

Bilang na narinig na natin sa mga associated expressions ng time response ng control system na may input step function, ang bahaging oscillation ay naroroon sa response kapag ang damping ratio (ζ) ay mas mababa sa isa at hindi ito naroroon sa response kapag ang damping ratio ay katumbas ng isa.

Ito ay nangangahulugan na ang bahaging oscillation ng response ay nawawala kapag ang damping ratio ay naging unity. Dahil dito, ang damping ng response sa ζ = 1, ay kilala bilang critical damping.

Mas tumpak, kapag ang damping ratio ay unity, ang response ay critically damped at ang damping ay kilala bilang critical damping.

Ang ratio ng time constant ng critical damping sa actual damping ay kilala bilang damping ratio. Bilang ang time constant ng time response ng control system ay 1/ζωn kapag ζ≠ 1 at ang time constant ay 1/ωn kapag ζ = 1.

Second Order System Transfer Function

Ang general equation para sa transfer function ng second order control system ay ibinibigay bilang

Kapag ang denominator ng expression ay zero,

Ang dalawang roots ng equation o ang dalawang values ng s ay kumakatawan sa poles ng transfer function ng sistema. Ang real part ng roots ay kumakatawan sa damping at ang imaginary part ay kumakatawan sa damped frequency ng response.

Ang location ng roots ng characteristics equation para sa iba't ibang values ng ζ habang ωn fixed at ang corresponding time response para sa second order control system ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Figure 8.4.7 page 140 ng libro na automatic control system ni Hasan.

Transient response specifications of second-order control system.

Ang performance ng control system ay maaaring ipahayag sa termino ng transient response sa unit step input function dahil madali itong bumuo.

Isaalang-alang natin ang isang second-order control system kung saan binigyan ng unit step input signal at inaasahan na ang sistema ay initially at rest. Ibig sabihin, ang lahat ng initial conditions ng sistema ay zero. Ang time response characteristics ng sistema sa under damped condition ay inilalarawan sa ibaba.

Figure 2.17 page 92 ng libro na automatic control system ni Hasan.

Mayroong maraming common terms sa transient response characteristics at ang mga ito ay

1. Oras ng pagka-delay (td) ay ang oras na kailangan upang umabot sa 50% ng huling halaga ng isang signal ng oras ng tugon sa unang siklo ng oscillation.

2. Oras ng pagtaas (tr) ay ang oras na kailangan upang umabot sa huling halaga ng isang under damped signal ng oras ng tugon sa unang siklo ng oscillation. Kung ang signal ay over damped, ang oras ng pagtaas ay itinuturing bilang ang oras na kailangan ng tugon upang umabot mula 10% hanggang 90% ng huling halaga nito.

3. Oras ng puncak (tp) ay simpleng ang oras na kailangan ng tugon upang umabot sa unang puncak nito, o ang puncak ng unang siklo ng oscillation, o unang overshoot.

4. Pinakamataas na overshoot (Mp) ay ang diretso na pagkakaiba sa pagitan ng magnitude ng pinakamataas na puncak ng oras ng tugon at magnitude ng steady state nito. Ang pinakamataas na overshoot ay ipinahayag sa termino ng porsiyento ng steady-state value ng tugon. Dahil ang unang puncak ng tugon ay normal na pinakamataas sa magnitude, ang pinakamataas na overshoot ay simpleng normalized na pagkakaiba sa pagitan ng unang puncak at steady-state value ng tugon.

• Oras ng pag-settle (ts) ay ang oras na kailangan para maging steady ang tugon. Ito ay inilalarawan bilang ang oras na kailangan ng tugon upang umabot at maging steady sa tinukoy na range ng 2% hanggang 5% ng huling halaga nito.

• Steady-state error (e ss ) ay ang pagkakaiba sa pagitan ng aktwal na output at kinikilingan na output sa walang hanggang range ng oras.

Formula ng Oras ng Pagtaas

Ang expression ng under damped second-order control system na may unit step input function,

Sapilitan, batay sa definisyon, ang magnitude ng output signal sa Rise times ay 1. Ito ay c(t) = 1, kaya

Formula ng Oras ng Puncak

Batay sa definisyon, sa panahon ng tuktok, umabot ang kurba ng tugon sa kanyang pinakamataas na halaga. Kaya sa puntong iyon,



Ang pinakamataas na sobrang lumampas ay nangyayari kapag n = 1.

Formula ng Pinakamataas na Sobrang Lumampas

Kapag inilagay natin ang ekspresyon ng panahon ng tuktok sa ekspresyon ng tugon ng output c(t), makukuha natin,

Formula ng Panahon ng Pagkumpleto

Nakahanda na ang definisyon na ang panahon ng pagkumpleto ng isang tugon ay ang panahon pagkatapos nito kung saan umabot ang tugon sa kanyang steady-state condition na may halaga na higit sa 98% ng kanyang final na halaga.

Tinatamaan din na ang panahong ito ay humigit-kumulang na apat na beses ng time constant ng isang signal. Kapag ang time constant ng second-order control system ay 1/ζ ωn, ang paglalapat ng panahon ng pagkumpleto ay maaaring ibigay bilang
Pahayag: Igalang ang orihinal, mabubuting artikulo na karapat-dapat ibahagi, kung may pagsusunod-sundo ng copyright pakiusap lumapit upang i-delete.