Tempo de Resposta dun Sistema de Control de Segundo Orde (Exemplo Resolvido)

O orde dun sistema de control determinase polo poder de ‘s’ no denominador da súa función de transferencia.

Se o poder de s no denominador da función de transferencia dun sistema de control é 2, entón o sistema denomínase sistema de control de segundo orde.

A expresión xeral da función de transferencia dun sistema de control de segundo orde dáse como

Aquí, ζ e ωn son a razón de amortiguación e a frecuencia natural do sistema, respectivamente (aprenderemos sobre estes dous termos en detalle máis adiante).

Reordenando a fórmula anterior, a saída do sistema dáse como

Se consideramos unha función de paso unitario como a entrada do sistema, entón a ecuación de saída do sistema pode reescribirse como

Tomando a transformada inversa de Laplace da ecuación anterior, obtemos

A expresión anterior da saída c(t) pode reescribirse como

O erro da señal da resposta dáse por e(t) = r (t) – c(t), e, polo tanto.

A partir da expresión anterior é claro que o erro da señal é de tipo oscilatorio con magnitudo decrescente exponencialmente cando ζ < 1.

A frecuencia da oscilación é ωd e a constante de tempo do decaemento exponencial é 1/ζωn.

Onde, ωd, denomínase frecuencia amortiguada da oscilación, e ωn é a frecuencia natural da oscilación. O termo ζ afecta moito a amortización e, polo tanto, este termo chámase razón de amortiguación.

Haberán diferentes comportamentos da señal de saída, dependendo do valor da razón de amortiguación, e examinémos cada un dos casos, un por un.

Usando isto como base, analizaremos a resposta temporal dun sistema de control de segundo orde. Faremos isto analizando a resposta ao paso unitario dun sistema de control de segundo orde no dominio da frecuencia, antes de convertilo no dominio do tempo.

Resposta ao paso dun sistema de segundo orde

Cando a razón de amortiguación é cero, podemos reescribir a expresión anterior da señal de saída como

Como nesta expresión non hai termo exponencial, a resposta temporal do sistema de control é non amortiguada para a función de paso unitaria con razón de amortiguación cero.

Páxina 137. Figura 6.4.3. do libro Sistemas de control automático por Hasan.

Agora examinemos o caso cando a razón de amortiguación é unidade.



Nesta expresión da señal de saída, non hai parte oscilatoria na función de paso unitaria. E, polo tanto, esta resposta temporal do sistema de segundo orde denomínase críticamente amortiguada.

Agora examinaremos a resposta temporal dun sistema de segundo orde coa función de paso unitaria cando a razón de amortiguación é maior que un.

Tomando a transformada inversa de Laplace de ambos os lados da ecuación anterior obtemos,


Nesta expresión, hai dúas constantes de tempo.

Para o valor de ζ comparativamente moito maior que un, o efecto da constante de tempo máis rápida na resposta temporal pode ignorarse e a expresión final da resposta temporal resulta ser

Figura 6.4.5 da páxina 139 do libro Sistemas de control automático por Hasan.

Resposta temporal crítica de amortiguación dun sistema de control

A expresión da resposta temporal dun sistema de segundo orde suxeita a unha función de paso unitaria dáse a continuación.

O recíproco da constante do poder negativo do término exponencial na parte de erro da saída é realmente responsable da amortiguación da resposta de saída.

Aqui nesta ecuación é ζωn. O recíproco da constante do poder negativo do término exponencial na sinal de erro coñécese como constante de tempo.

Xa examinamos que cando o valor de ζ (tamén coñecido como razón de amortiguación) é menor que a unidade, a oscilación da resposta decrece exponencialmente cunha constante de tempo 1/ζωn. Isto chámase resposta subamortiguada.

Por outro lado, cando ζ é maior que a unidade, a resposta á entrada de paso unitario dada ao sistema, non presenta parte oscilatoria.

Isto chámase resposta sobreamortiguada. Tamén examinamos a situación cando a razón de amortiguación é unidade, é dicir, ζ = 1.

Nesa situación, a amortiguación da resposta está gobernada pola frecuencia natural ωn só. A amortiguación real nesa condición coñécese como amortiguación crítica da resposta.

Como xa vimos nas expresións asociadas da resposta temporal do sistema de control suxeito á función de paso, a parte oscilatoria está presente na resposta cando a razón de amortiguación (ζ) é menor que un e non está presente na resposta cando a razón de amortiguación é igual a un.