द्वितीयक नियंत्रण प्रणाली का समय प्रतिक्रिया (संगणित उदाहरण)

नियंत्रण प्रणाली की कोटि इसके स्थानांतरण फ़ंक्शन के हर में 's' की घात से निर्धारित की जाती है।

यदि नियंत्रण प्रणाली के स्थानांतरण फ़ंक्शन के हर में s की घात 2 हो, तो उस प्रणाली को द्वितीय क्रम नियंत्रण प्रणाली कहा जाता है।

द्वितीय क्रम नियंत्रण प्रणाली के स्थानांतरण फ़ंक्शन का सामान्य व्यंजक निम्नलिखित दिया गया है

यहाँ, ζ और ωn क्रमशः प्रणाली का डैम्पिंग अनुपात और प्राकृतिक आवृत्ति है (हम बाद में इन दोनों पदों के बारे में विस्तार से जानेंगे)।

उपरोक्त सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, प्रणाली का आउटपुट निम्नलिखित दिया गया है

यदि हम प्रणाली के इनपुट के रूप में एक इकाई स्टेप फंक्शन को लेते हैं, तो प्रणाली का आउटपुट समीकरण निम्नलिखित रूप से फिर से लिखा जा सकता है

उपरोक्त समीकरण का इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

आउटपुट c(t) का उपरोक्त व्यंजक निम्नलिखित रूप से फिर से लिखा जा सकता है

प्रतिक्रिया के सिग्नल की त्रुटि e(t) = r (t) – c(t) द्वारा दी गई है, और इसलिए.

उपरोक्त व्यंजक से स्पष्ट है कि जब ζ < 1 हो, तो सिग्नल की त्रुटि घातीय रूप से घटते हुए दोलन प्रकार की होती है।

दोलन की आवृत्ति ωd है और घातीय घटाव का समय नियंत्रक 1/ζωn है।

जहाँ, ωd, दोलन की डैम्प्ड आवृत्ति के रूप में जाना जाता है, और ωn दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति है। टर्म ζ डैम्पिंग पर बहुत प्रभाव डालता है और इसलिए इस टर्म को डैम्पिंग अनुपात कहा जाता है।

डैम्पिंग अनुपात के मान पर आधारित आउटपुट सिग्नल के विभिन्न व्यवहार होंगे, और चलिए हम प्रत्येक मामले को एक-एक करके जांचते हैं।

इस आधार पर, हम द्वितीय क्रम नियंत्रण प्रणाली की समय प्रतिक्रिया का विश्लेषण करेंगे। हम इसे द्वितीय क्रम नियंत्रण प्रणाली की इकाई स्टेप प्रतिक्रिया को आवृत्ति क्षेत्र में विश्लेषण करके, फिर इसे समय क्षेत्र में परिवर्तित करके करेंगे।

द्वितीय क्रम प्रणाली की स्टेप प्रतिक्रिया

जब डैम्पिंग अनुपात शून्य हो, तो हम आउटपुट सिग्नल के उपरोक्त व्यंजक को निम्नलिखित रूप से फिर से लिख सकते हैं

इस व्यंजक में कोई घातीय पद नहीं है, इसलिए शून्य डैम्पिंग अनुपात के साथ इकाई स्टेप इनपुट फंक्शन के लिए नियंत्रण प्रणाली की समय प्रतिक्रिया अनडैम्प्ड होती है।

हसन द्वारा लिखित ऑटोमेटिक नियंत्रण प्रणाली की पुस्तक के पेज 137, चित्र 6.4.3।

अब चलिए ऐसे मामले की जांच करें जब डैम्पिंग अनुपात एक के बराबर हो।



इस आउटपुट सिग्नल के व्यंजक में, विषयवाचक इकाई स्टेप फंक्शन में दोलन भाग नहीं है। इसलिए इस द्वितीय क्रम नियंत्रण प्रणाली की समय प्रतिक्रिया को आलोचनात्मक रूप से डैम्प्ड कहा जाता है।

अब हम द्वितीय क्रम नियंत्रण प्रणाली की समय प्रतिक्रिया की जांच करेंगे जब डैम्पिंग अनुपात एक से अधिक हो।

उपरोक्त समीकरण के दोनों ओर इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म लेने पर, हम प्राप्त करते हैं,


उपरोक्त व्यंजक में, दो समय नियंत्रक हैं।

ζ के मान के लिए जो एक की तुलना में बहुत अधिक हो, समय प्रतिक्रिया पर तेज समय नियंत्रक का प्रभाव नगण्य माना जा सकता है और समय प्रतिक्रिया का अंतिम व्यंजक निम्नलिखित रूप से आता है

हसन द्वारा लिखित ऑटोमेटिक नियंत्रण प्रणाली की पुस्तक के पेज 139, चित्र 6.4.5।

नियंत