Časová odezva systému druhého řádu (příklad)

Řád řídicího systému se určuje mocninou 's' v jmenovateli jeho přenosové funkce.

Pokud je mocnina s v jmenovateli přenosové funkce řídicího systému 2, pak se systém nazývá systém druhého řádu.

Obecný výraz pro přenosovou funkci systému druhého řádu je následující

Zde jsou ζ a ωn tlumiče a vlastní frekvence systému (tyto dva termíny si podrobněji vysvětlíme později).

Přeuspořádáním výše uvedeného vzorce se výstup systému dá zapsat jako

Pokud považujeme jednotkovou skokovou funkci za vstup systému, pak se rovnice výstupu systému dá přepsat jako

Po provedení inverzní Laplaceovy transformace předchozí rovnice dostaneme

Výše uvedený výraz výstupu c(t) lze přepsat jako

Chyba signálu odpovědi je dána e(t) = r(t) – c(t), a tedy.

Z výše uvedeného výrazu je zřejmé, že chyba signálu má oscilující charakter s exponenciálně klesající amplitudou, pokud ζ < 1.

Frekvence oscilace je ωd a časová konstanta exponenciálního klesání je 1/ζωn.

Kde, ωd, je označován jako tlumená frekvence oscilace, a ωn je vlastní frekvence oscilace. Termín ζ ovlivňuje tlumení velmi silně a proto se tento termín nazývá koeficient tlumení.

Bude existovat různé chování výstupního signálu, v závislosti na hodnotě koeficientu tlumení, a pojďme si prozkoumat každý z těchto případů postupně.

Na základě tohoto analyzujeme časovou odezvu systému druhého řádu. Učiníme to analyzováním jednotkové skokové odezvy systému druhého řádu v frekvenční doméně, než ji převedeme do časové domény.

Skoková odezva systému druhého řádu

Když je koeficient tlumení nulový, můžeme výše uvedený výraz výstupního signálu přepsat jako

Jelikož v tomto výrazu není žádný exponenciální člen, časová odezva řídicího systému je netlumená pro jednotkovou skokovou vstupní funkci s nulovým koeficientem tlumení.

Strana 137. Obrázek 6.4.3. knihy Automatické řídicí systémy od Hasana.

Nyní pojďme prozkoumat případ, kdy je koeficient tlumení roven jedné.



V tomto výrazu výstupního signálu není žádná oscilující část v subjektivní jednotkové skokové funkci. A proto se tato časová odezva systému druhého řádu nazývá kriticky tlumená.

Nyní prozkoumáme časovou odezvu systému druhého řádu pro subjektivní jednotkovou skokovou vstupní funkci, kdy je koeficient tlumení větší než jedna.

Po provedení inverzní Laplaceovy transformace obou stran předchozí rovnice dostaneme,


V tomto výrazu jsou dvě časové konstanty.

Pro hodnotu ζ, která je relativně mnohem větší než jedna, lze negativní vliv rychlejší časové konstanty na časovou odezvu zanedbat a konečný výraz časové odezvy bude následující

Obrázek 6.4.5 na straně 139 knihy Automatické řídicí systémy od Hasana.

Kritická tlumená časová odezva řídicího systému

Výraz časové odezvy systému druhého řádu pro jednotkovou skokovou vstupní funkci je následující.

Reziproká hodnota konstanty záporné mocniny exponenciálního členu v chybové části výstupního signálu je ve skutečnosti odpovědná za tlumení výstupní odezvy.

V této rovnici je to ζωn. Reziproká hodnota konstanty záporné mocniny exponenciálního členu v chybovém signálu se nazývá časová konstanta.

Už jsme prozkoumali, že když je hodnota ζ (také známá jako koeficient tlumení) menší než jedna, oscilace odpovědi klesají exponenciálně s časovou konstantou 1/ζωn. Toto se nazývá nedotlumená odpověď.

Naopak, když je ζ větší než jedna, odpověď na jednotkovou skokovou vstupní funkci danou systému, neobsahuje oscilující část.

To se nazývá přetlumená odpověď. Prozkoumali jsme také situaci, kdy je koeficient tlumení roven jedné, tj. ζ = 1.