Zeitliche Antwort eines Regelkreises zweiter Ordnung (Ausgearbeitetes Beispiel)

Die Ordnung eines Regelkreises wird durch die Potenz von 's' im Nenner seiner Übertragungsfunktion bestimmt.

Wenn die Potenz von s im Nenner der Übertragungsfunktion eines Regelkreises 2 ist, dann wird das System als Regelkreis zweiter Ordnung bezeichnet.

Der allgemeine Ausdruck für die Übertragungsfunktion eines Regelkreises zweiter Ordnung lautet

Hierbei sind ζ und ωn die Dämpfung und die Eigenfrequenz des Systems (wir werden diese beiden Begriffe später detaillierter erläutern).

Durch Umformulierung der obigen Formel ergibt sich die Ausgangsgröße des Systems als

Wenn wir eine Einheitssprungfunktion als Eingang des Systems betrachten, dann kann die Ausgangsgleichung des Systems wie folgt umgeschrieben werden

Durch Anwendung der inversen Laplace-Transformation auf die obige Gleichung erhalten wir

Der obige Ausdruck für die Ausgangsgröße c(t) kann wie folgt umgeschrieben werden

Der Fehler des Signals der Antwort ist gegeben durch e(t) = r(t) – c(t), und daher.

Aus dem obigen Ausdruck geht hervor, dass der Fehlersignal ein oszillierendes Verhalten mit exponentiell abklingender Amplitude aufweist, wenn ζ < 1.

Die Frequenz der Oszillation ist ωd und die Zeitkonstante des exponentiellen Abfalls ist 1/ζωn.

Wobei, ωd, als gedämpfte Frequenz der Oszillation bezeichnet wird, und ωn die natürliche Frequenz der Oszillation ist. Der Term ζ beeinflusst die Dämpfung stark und wird daher als Dämpfungsfaktor bezeichnet.

Es gibt verschiedene Verhaltensweisen des Ausgangssignals, je nach dem Wert des Dämpfungsfaktors. Lassen Sie uns jeden dieser Fälle einzeln untersuchen.

Basierend darauf werden wir das Zeitverhalten eines Regelkreises zweiter Ordnung analysieren. Wir werden dies tun, indem wir die Schrittfunktionsantwort eines Regelkreises zweiter Ordnung im Frequenzbereich analysieren, bevor wir sie in den Zeitbereich umwandeln.

Schrittfunktionsantwort eines Regelkreises zweiter Ordnung

Wenn der Dämpfungsfaktor null ist, können wir den obigen Ausdruck für das Ausgangssignal wie folgt umschreiben

Da in diesem Ausdruck kein exponentieller Term vorhanden ist, ist die Zeitantwort des Regelkreises ungedämpft für eine Einheitssprungfunktion mit einem Dämpfungsfaktor von null.

Seite 137. Abbildung 6.4.3. des Buches "Automatische Regelungssysteme" von Hasan.

Nun untersuchen wir den Fall, wenn der Dämpfungsfaktor eins ist.



In diesem Ausdruck für das Ausgangssignal ist kein oszillierender Teil bei der Einheitssprungfunktion vorhanden. Daher wird diese Zeitantwort des Regelkreises zweiter Ordnung als kritisch gedämpft bezeichnet.

Nun werden wir die Zeitantwort eines Regelkreises zweiter Ordnung für eine Einheitssprungfunktion untersuchen, wenn der Dämpfungsfaktor größer als eins ist.

Durch Anwendung der inversen Laplace-Transformation auf beide Seiten der obigen Gleichung erhalten wir,


In diesem Ausdruck gibt es zwei Zeitkonstanten.

Für Werte von ζ, die vergleichsweise viel größer als eins sind, kann der Einfluss der schnelleren Zeitkonstante auf die Zeitantwort vernachlässigt werden, und der endgültige Ausdruck für die Zeitantwort lautet

Abbildung 6.4.5 Seite 139 des Buches "Automatische Regelungssysteme" von Hasan.

Kritische Dämpfung der Zeitantwort eines Regelkreises

Der Ausdruck für die Zeitantwort eines Regelkreises zweiter Ordnung bei einer Einheitssprungfunktion lautet wie folgt.

Der Kehrwert des Exponenten in der Fehlerkomponente des Ausgangssignals ist tatsächlich für die Dämpfung der Ausgangsantwort verantwortlich.

In dieser Gleichung ist es ζωn. Der Kehrwert des Exponenten in der Fehlerkomponente wird als Zeitkonstante bezeichnet.

Wir haben bereits untersucht, dass, wenn der Wert von ζ (auch bekannt als Dämpfungsfaktor) kleiner als eins ist, die Oszillation der Antwort exponentiell mit einer Zeitkonstanten 1/ζωn abklingt. Dies wird als unterdämpfte Antwort bezeichnet.

Andererseits, wenn ζ größer als eins ist, zeigt die Antwort auf die Einheitssprungfunktion, die an das System gegeben wird, keinen oszillierenden Teil.

Dies wird als überdämpfte Antwort bezeichnet. Wir haben auch den Fall untersucht, wenn der Dämpfungsfaktor eins ist, also ζ = 1.

In dieser Situation wird die Dämpfung der Antwort nur durch die natürliche Frequenz ωn bestimmt. Die tatsächliche Dämpfung in diesem Zustand wird als kritische Dämpfung der Antwort bezeichnet.

Wie wir bereits in den zugehörigen Ausdrücken für die Zeitantwort des Regelkreises bei einer Einheitssprungfunktion gesehen haben, ist der oszillierende Teil in der Antwort vorhanden,