Risposta temporale del sistema di controllo del secondo ordine (Esempio svolto)

L'ordine di un sistema di controllo è determinato dalla potenza di 's' al denominatore della sua funzione di trasferimento.

Se la potenza di s al denominatore della funzione di trasferimento di un sistema di controllo è 2, allora il sistema viene definito sistema di controllo del secondo ordine.

L'espressione generale della funzione di trasferimento di un sistema di controllo del secondo ordine è data da

Qui, ζ e ωn sono rispettivamente il rapporto di smorzamento e la frequenza naturale del sistema (ne approfondiremo questi due termini più avanti).

Riordinando la formula sopra, l'uscita del sistema è data da

Se consideriamo una funzione gradino unitaria come ingresso del sistema, allora l'equazione dell'uscita del sistema può essere riscritta come

Prendendo la trasformata inversa di Laplace dell'equazione sopra, otteniamo

L'espressione sopra dell'uscita c(t) può essere riscritta come

L'errore del segnale di risposta è dato da e(t) = r (t) – c(t), e quindi.

Dall'espressione sopra è chiaro che l'errore del segnale è di tipo oscillatorio con ampiezza esponenzialmente decrescente quando ζ < 1.

La frequenza dell'oscillazione è ωd e la costante temporale del decadimento esponenziale è 1/ζωn.

Dove, ωd, è chiamata frequenza smorzata dell'oscillazione, e ωn è la frequenza naturale dell'oscillazione. Il termine ζ influenza molto lo smorzamento e quindi questo termine è chiamato rapporto di smorzamento.

Ci saranno diversi comportamenti del segnale di uscita, a seconda del valore del rapporto di smorzamento, e analizziamo ciascuno dei casi, uno per uno.

Usando ciò come base, analizzeremo la risposta nel tempo di un sistema di controllo del secondo ordine. Lo faremo analizzando la risposta al gradino unitario di un sistema di controllo del secondo ordine nel dominio delle frequenze, prima di convertirla nel dominio del tempo.

Risposta al gradino di un sistema del secondo ordine

Quando il rapporto di smorzamento è zero, possiamo riscrivere l'espressione sopra del segnale di uscita come

Poiché in questa espressione non c'è un termine esponenziale, la risposta nel tempo del sistema di controllo è non smorzata per la funzione di ingresso gradino unitario con rapporto di smorzamento zero.

Pagina 137. Figura 6.4.3. del libro "Sistemi di controllo automatico" di Hasan.

Ora esaminiamo il caso in cui il rapporto di smorzamento è unitario.



In questa espressione del segnale di uscita, non c'è una parte oscillante nella funzione gradino unitaria. E quindi questa risposta nel tempo del sistema di controllo del secondo ordine viene definita smorzata criticamente.

Ora esamineremo la risposta nel tempo di un sistema di controllo del secondo ordine con funzione di ingresso gradino unitario quando il rapporto di smorzamento è maggiore di uno.

Prendendo la trasformata inversa di Laplace di entrambi i lati dell'equazione sopra, otteniamo,


Nell'espressione sopra ci sono due costanti temporali.

Per valori di ζ notevolmente maggiori di uno, l'effetto della costante temporale più veloce sulla risposta nel tempo può essere trascurato e l'espressione finale della risposta nel tempo diventa

Figura 6.4.5 della pagina 139 del libro "Sistemi di controllo automatico" di Hasan.

Risposta nel tempo smorzata criticamente del sistema di controllo

L'espressione della risposta nel tempo di un sistema di controllo del secondo ordine soggetto a una funzione di ingresso gradino unitaria è data di seguito.

Il reciproco della costante del potere negativo del termine esponenziale nella parte d'errore del segnale di uscita è in realtà responsabile dello smorzamento della risposta di uscita.

In questa equazione è ζωn. Il reciproco della costante del potere negativo del termine esponenziale nel segnale d'errore è noto come costante temporale.

Abbiamo già esaminato che quando il valore di ζ (anche noto come rapporto di smorzamento) è minore dell'unità, l'oscillazione della risposta decade esponenzialmente con una costante temporale 1/ζωn. Questo è chiamato risposta sotto smorzata.

D'altra parte, quando ζ è maggiore dell'unità, la risposta alla funzione di ingresso gradino unitario data al sistema, non presenta una parte oscillante.

Questo è chiamato risposta sovrasmorzata. Abbiamo anche esaminato la situazione in cui il rapporto di smorzamento è unitario, cioè ζ = 1.

In quella situazione, lo smorzamento della risposta è governato dalla frequenza naturale ωn soltanto. L'effettivo smorzamento in quella condizione è noto come smorzamento critico della risposta.