제어 시스템의 2차 시간 응답 (예제 해설)

제어 시스템의 차수는 전달 함수의 분모에서 's'의 거듭제곱에 의해 결정됩니다.

제어 시스템의 전달 함수의 분모에서 s의 거듭제곱이 2인 경우, 해당 시스템은 2차 제어 시스템이라고 합니다.

2차 제어 시스템의 전달 함수의 일반적인 표현은 다음과 같습니다

여기서 ζ와 ωn은 각각 시스템의 감쇠비와 고유 주파수입니다 (이 두 용어에 대해서는 나중에 자세히 알아보겠습니다).

위 공식을 재배열하면, 시스템의 출력은 다음과 같이 주어집니다

시스템의 입력으로 단위 계단 함수를 고려할 때, 시스템의 출력 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다

위 방정식의 역 라플라스 변환을 취하면

출력 c(t)의 위 표현은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다

응답 신호의 오차는 e(t) = r(t) – c(t)로 주어지며, 따라서.

위 표현에서 ζ < 1일 때 신호의 오차가 지수적으로 감쇠하는 진동 형태임을 알 수 있습니다.

진동의 주파수는 ωd이고, 지수적 감쇠의 시간 상수는 1/ζωn입니다.

여기서, ωd는 진동의 감쇠 주파수라고 불리며, ωn은 진동의 고유 주파수입니다. 항 ζ는 감쇠에 큰 영향을 미치므로 이 항을 감쇠비라고 합니다.

감쇠비의 값에 따라 출력 신호의 행동이 달라질 것이며, 각각의 경우를 하나씩 살펴보겠습니다.

이를 기반으로 2차 제어 시스템의 시간 응답을 분석하겠습니다. 이를 위해 2차 제어 시스템의 단위 계단 응답을 주파수 영역에서 분석한 후 시간 영역으로 변환하겠습니다.

2차 시스템의 단계 응답

감쇠비가 0일 때, 위의 출력 신호 표현을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다

이 표현에는 지수 항이 없으므로, 감쇠비가 0인 단위 계단 입력 함수에 대한 제어 시스템의 시간 응답은 비감쇠 상태입니다.

하산 저자의 "자동 제어 시스템" 책의 137페이지, 도표 6.4.3.

이제 감쇠비가 1일 때의 경우를 살펴보겠습니다.



이 출력 신호 표현에는 주관적인 단위 계단 함수에서 진동 부분이 없습니다. 따라서 이 2차 제어 시스템의 시간 응답은 임계 감쇠라고 합니다.

이제 감쇠비가 1보다 클 때의 2차 제어 시스템의 시간 응답을 주관적인 단위 계단 입력 함수에 대해 살펴보겠습니다.

위 방정식의 양변에 역 라플라스 변환을 취하면,


위 표현에는 두 개의 시간 상수가 있습니다.

ζ가 1보다 훨씬 큰 경우, 더 빠른 시간 상수의 시간 응답에 미치는 영향을 무시할 수 있으며, 최종적으로 시간 응답 표현은 다음과 같습니다

하산 저자의 "자동 제어 시스템" 책의 139페이지, 도표 6.4.5.

제어 시스템의 임계 감쇠 시간 응답

단위 계단 입력 함수에 대한 2차 제어 시스템의 시간 응답 표현은 다음과 같습니다.

출력 신호의 오차 부분에서 지수 항의 음수 제곱의 상수의 역수는 실제로 출력 응답의 감쇠를 담당합니다.

여기서 이 방정식에서는 ζωn입니다. 오차 신호의 지수 항의 음수 제곱의 상수의 역수는 시간 상수로 알려져 있습니다.

우리는 이미 ζ(또는 감쇠비)가 1보다 작을 때, 응답의 진동이 1/ζωn의 시간 상수로 지수적으로 감쇠한다는 것을 확인했습니다. 이를 과도 감쇠 응답이라고 합니다.

반면에, ζ가 1보다 클 때, 시스템에 주어진 단위 계단 입력에 대한 응답은 진동 부분을 나타내지 않습니다.

이것을 과감쇠 응답이라고 합니다. 우리는 또한 감쇠비가 1인 경우, 즉 ζ = 1인 경우를 살펴보았습니다.

그런 상황에서 응답의 감쇠는 고유 주파수 ωn에 의해 결정됩니다. 실제 그 조건에서의 감쇠는 응답의 임계 감쇠로 알려져 있습니다.

우리는 이미 단위 계단 입력 함수에 대한 제어 시스템의 시간 응답과 관련된 연관 표현에서, 감쇠비(ζ)가 1보다 작을 때 응답에 진동 부분이 있고, 감쇠비가 1일 때는 그렇지 않다는 것을 보았습니다.