Tidsrespons för system av andra ordningen (genomgångsexempel)

Ordningen hos ett reglersystem bestäms av potensen av 's' i nämnaren av dess överföringsfunktion.

Om potensen av s i nämnaren av överföringsfunktionen för ett reglersystem är 2, så kallas systemet för andragradsreglersystem.

Den generella uttryck för överföringsfunktionen för ett andragradsreglersystem ges som

Här är ζ och ωn dämpningskvoten och naturliga frekvensen för systemet, respektive (vi kommer att lära oss mer om dessa två termer senare).

Genom att omskriva formeln ovan, ges utgången från systemet som

Om vi betraktar en enhetsstegfunktion som indata till systemet, kan utgångsekvationen för systemet skrivas om som

Genom att ta invers Laplace-transformen av ekvationen ovan, får vi

Uttrycket för utgången c(t) ovan kan skrivas om som

Fel i signalen för responsen ges av e(t) = r(t) – c(t), och därför.

Av uttrycket ovan är det tydligt att felet i signalen är av svängningstyp med exponentiellt avtagande magnitud när ζ < 1.

Frekvensen för svängningen är ωd och tidskonstanten för exponentiellt avtagande är 1/ζωn.

Där, ωd, refereras till som den dämpade frekvensen av svängningen, och ωn är den naturliga frekvensen av svängningen. Termen ζ påverkar dämpningen mycket och därför kallas denna term dämpningskvot.

Det kommer att finnas olika beteenden hos utsignalen, beroende på värdet av dämpningskvoten, och låt oss undersöka varje fall, ett i taget.

Med detta som grund kommer vi att analysera tidsresponsen för ett andragradsreglersystem. Vi kommer att göra detta genom att analysera enhetsstegresponsen för ett andragradsreglersystem i frekvensdomänen, innan vi konverterar det till tidsdomänen.

Tidsrespons för andragradsreglersystem

När dämpningskvoten är noll kan vi omskriva uttrycket för utsignalen ovan som

Eftersom det inte finns någon exponentiell term i detta uttryck, är tidsresponsen för reglersystemet odämpad för enhetssteginmatning med dämpningskvot noll.

Sida 137. Figur 6.4.3. i boken "Automatic Control System" av Hasan.

Nu ska vi undersöka fallet när dämpningskvoten är ett.



I detta uttryck för utsignalen finns det ingen svängande del i subjektiv enhetsstegfunktion. Därför kallas denna tidsrespons för andragradsreglersystem för kritiskt dämpad.

Nu ska vi undersöka tidsresponsen för ett andragradsreglersystem med subjektiv enhetssteginmatning när dämpningskvoten är större än ett.

Genom att ta invers Laplace-transformen av båda sidor av ekvationen ovan får vi,


I uttrycket ovan finns det två tidskonstanter.

För värdet av ζ betydligt större än ett, kan effekten av snabbare tidskonstant på tidsresponsen försummas, och tidsresponsuttrycket blir slutligen

Figur 6.4.5 på sida 139 i boken "Automatic Control System" av Hasan.

Kritisk dämpningstidsrespons för reglersystem

Tidsresponsuttrycket för ett andragradsreglersystem med enhetssteginmatning ges nedan.

Det reciproka värdet av konstanten för negativ potens av exponentialtermen i fel-del av utsignalen ansvarar faktiskt för dämpningen av utsvaret.

Här i denna ekvation är det ζωn. Det reciproka värdet av konstanten för negativ potens av exponentialtermen i fel-signalen kallas tidskonstant.

Vi har redan undersökt att när värdet av ζ (även känd som dämpningskvot) är mindre än ett, svänger svaret exponentiellt med tidskonstant 1/ζωn. Detta kallas underdämpat svar.

Å andra sidan, när ζ är större än ett, visar svaret på enhetssteginmatningen givet till systemet inte upp någon svängande del.

Detta kallas överdämpat svar. Vi har också undersökt situationen när dämpningskvoten är ett, det vill säga ζ = 1.

I den situationen styrs dämpningen av svaret av den naturliga frekvensen ωn endast. Den faktiska dämpningen vid det tillståndet kallas kritisk dämpning av svaret.

Som vi redan sett i de associerade uttrycken för tidsresponsen för reglersystem med inmatningsstegfunktion, finns svängande del i svaret när dämpningskvoten (ζ) är mindre än ett, och den