Временная характеристика системы второго порядка управления (пример решения)

Порядок системы управления определяется степенью 's' в знаменателе ее передаточной функции.

Если степень s в знаменателе передаточной функции системы управления равна 2, то система называется системой второго порядка.

Общее выражение для передаточной функции системы второго порядка дается как

Здесь, ζ и ωn являются коэффициентом демпфирования и собственной частотой системы, соответственно (мы подробно рассмотрим эти два термина позже).

Переписав формулу выше, выход системы дается как

Если мы рассматриваем единичную ступенчатую функцию как вход системы, то уравнение выхода системы можно переписать как

Преобразовав обратное преобразование Лапласа к вышеприведенному уравнению, мы получаем

Вышеуказанное выражение для выхода c(t) можно переписать как

Ошибка сигнала ответа задается e(t) = r (t) – c(t), и, следовательно.

Из вышеуказанного выражения видно, что ошибка сигнала имеет колебательный характер с экспоненциально затухающей амплитудой, когда ζ < 1.

Частота колебаний равна ωd, а постоянная времени экспоненциального затухания равна 1/ζωn.

Где, ωd называется затухшей частотой колебаний, а ωn - собственной частотой колебаний. Параметр ζ сильно влияет на демпфирование, поэтому этот параметр называется коэффициентом демпфирования.

Будут различные поведения выходного сигнала, в зависимости от значения коэффициента демпфирования, и давайте рассмотрим каждый из случаев по отдельности.

Используя это в качестве основы, мы проанализируем временной ответ системы второго порядка. Мы сделаем это, проанализировав реакцию на единичный ступенчатый сигнал системы второго порядка в частотной области, прежде чем преобразовать его во временную область.

Реакция на ступенчатый сигнал системы второго порядка

Когда коэффициент демпфирования равен нулю, мы можем переписать вышеуказанное выражение для выходного сигнала как

Так как в этом выражении нет экспоненциального члена, временная реакция системы управления на единичный ступенчатый входной сигнал без демпфирования является недемпфированной.

Страница 137. Рисунок 6.4.3. книги "Автоматические системы управления" Хасана.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент демпфирования равен единице.



В этом выражении для выходного сигнала нет колебательной части при единичном ступенчатом входном сигнале. Поэтому эта временная реакция системы второго порядка называется критически демпфированной.

Теперь мы рассмотрим временную реакцию системы второго порядка на единичный ступенчатый входной сигнал, когда коэффициент демпфирования больше единицы.

Преобразовав обратное преобразование Лапласа обеих сторон вышеуказанного уравнения, мы получаем,


В этом выражении есть две постоянные времени.

Для значения ζ, значительно большего единицы, влияние более быстрой постоянной времени на временную реакцию можно пренебречь, и окончательное выражение для временной реакции принимает вид

Рисунок 6.4.5 на странице 139 книги "Автоматические системы управления" Хасана.

Критическое демпфирование временного ответа системы управления

Выражение для временного ответа системы второго порядка на единичный ступенчатый входной сигнал приведено ниже.

Обратная величина константы отрицательной степени экспоненциального члена в ошибке выходного сигнала фактически отвечает за демпфирование выходного ответа.

В этом уравнении это ζωn. Обратная величина константы отрицательной степени экспоненциального члена в ошибке сигнала называется постоянной времени.

Мы уже рассмотрели, что когда значение ζ (также известное как коэффициент демпфирования) меньше единицы, колебания ответа затухают экспоненциально с постоянной времени 1/ζωn. Это называется недемпфированным ответом.

С другой стороны, когда ζ больше единицы, ответ на единичный ступенчатый вход, поданный на систему, не содержит колебательной части.

Это называется пере-демпфированным ответом. Мы также рассмотрели ситуацию, когда коэффициент демпфирования равен единице, то есть ζ = 1.

В этой ситуации демпфирование ответа определяется собственной частотой ωn только. Фактическое демпфирование в этом состоянии известно как критическое демпфирование ответа.