Vremenski odziv sistema druge naravnosti (rešeni primer)

Red sistema upravljanja određen je stepenom 's' u imeniocu njegove funkcije prenosa.

Ako je stepen s u imeniocu funkcije prenosa sistema upravljanja 2, tada se sistem smatra sistemom upravljanja drugog reda.

Opšti izraz za funkciju prenosa sistema upravljanja drugog reda dat je kao

Ovde su ζ i ωn koeficijent prigušenja i prirodna frekvencija sistema, redom (ovaj dva pojma će biti detaljnije razmatrana kasnije).

Preuređivanjem gore navedene formule, izlaz sistema dat je kao

Ako uzimamo jediničnu korak-funkciju kao ulaz sistema, tada se izlazna jednačina sistema može prepisati kao

Uzimanjem inverznog Laplaceovog transformatora gornje jednačine, dobijamo

Gornji izraz za izlaz c(t) može se prepisati kao

Greška signala odgovora data je sa e(t) = r (t) – c(t), i stoga.

Iz gornjeg izraza jasno je da greška signala ima oscilatorni karakter sa eksponencijalno opadajućom amplitudom kada je ζ < 1.

Frekvencija oscilacije je ωd, a vremenska konstanta eksponencijalnog opadanja je 1/ζωn.

Gdje, ωd, naziva se prigušena frekvencija oscilacije, a ωn je prirodna frekvencija oscilacije. Termin ζ značajno utiče na prigušenje, stoga se ovaj termin naziva koeficijent prigušenja.

Postojeće će različiti ponašanja izlaznog signala, u zavisnosti od vrednosti koeficijenta prigušenja, pa ćemo ispitati svaki od slučajeva, jedan po jedan.

Koristeći ovo kao osnovu, analizirati ćemo vremenski odgovor sistema upravljanja drugog reda. Učinit ćemo to analizirajući jedinični korak-odgovor sistema upravljanja drugog reda u domenu frekvencija, pre nego što ga pretvorimo u vremensku domenu.

Odgovor na korak sistema drugog reda

Kada je koeficijent prigušenja nula, možemo prepisati gornji izraz za izlazni signal kao

Kako u ovom izrazu ne postoji eksponencijalni deo, vremenski odgovor sistema upravljanja je nepripružen za jediničnu korak-funkciju sa nultim koeficijentom prigušenja.

Stranica 137. Slika 6.4.3. iz knjige Automatski sistemi upravljanja Hasan-a.

Sada ćemo ispitati slučaj kada je koeficijent prigušenja jednak jedinici.



U ovom izrazu za izlazni signal ne postoji oscilatorni deo u subjektivnoj jediničnoj korak-funkciji. Stoga se ovaj vremenski odgovor sistema upravljanja drugog reda naziva kritično prigušen.

Sada ćemo ispitati vremenski odgovor sistema upravljanja drugog reda na subjektivnu jediničnu korak-funkciju kada je koeficijent prigušenja veći od jedinice.

Uzimanjem inverznog Laplaceovog transformatora sa obe strane gornje jednačine, dobijamo,


U gornjem izrazu postoje dve vremenske konstante.

Za vrednost ζ relativno mnogo veću od jedinice, efekat brže vremenske konstante na vremenski odgovor može se zanemariti, a izraz za vremenski odgovor konačno glasi

Slika 6.4.5 sa stranice 139. iz knjige Automatski sistemi upravljanja Hasan-a.

Kritično prigušenje vremenskog odgovora sistema upravljanja

Izraz za vremenski odgovor sistema upravljanja drugog reda podložen jediničnoj korak-funkciji dat je ispod.

Reziprocna vrednost konstante negativne snage eksponencijalnog dela u grešci izlaznog signala zapravo odgovara za prigušenje izlaznog odgovora.

Ovdje u ovoj jednačini to je ζωn. Reziprocna vrednost konstante negativne snage eksponencijalnog dela u grešci signala poznata je kao vremenska konstanta.

Već smo ispitali da kada je vrednost ζ (poznata i kao koeficijent prigušenja) manja od jedinice, oscilacija odgovora eksponencijalno opada sa vremenskom konstantom 1/ζωn. Ovo se naziva podprigušen odgovor.

Sa druge strane, kada je ζ veće od jedinice, odgovor na jediničnu korak-funkciju datu sistemu, ne pokazuje oscilatorni deo u sebi.

Ovo se naziva preprigušen odgovor. Takođe smo ispitali situaciju kada je koeficijent prigušenja jednak jedinici, to jest ζ = 1.

U toj situaciji priguš