Respuesta Temporal del Sistema de Control de Segundo Orden (Ejemplo Resuelto)

El orden de un sistema de control se determina por la potencia de ‘s’ en el denominador de su función de transferencia.

Si la potencia de s en el denominador de la función de transferencia de un sistema de control es 2, entonces el sistema se dice que es un sistema de control de segundo orden.

La expresión general de la función de transferencia de un sistema de control de segundo orden se da como

Aquí, ζ y ωn son la relación de amortiguamiento y la frecuencia natural del sistema, respectivamente (estudiaremos estos dos términos en detalle más adelante).

Reorganizando la fórmula anterior, la salida del sistema se da como

Si consideramos una función escalón unitario como entrada del sistema, entonces la ecuación de salida del sistema puede reescribirse como

Tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior, obtenemos

La expresión anterior de la salida c(t) puede reescribirse como

El error de la señal de la respuesta se da por e(t) = r (t) – c(t), y por lo tanto.

De la expresión anterior es claro que el error de la señal es de tipo oscilatorio con magnitud exponencialmente decreciente cuando ζ < 1.

La frecuencia de la oscilación es ωd y la constante de tiempo de la decadencia exponencial es 1/ζωn.

Donde, ωd, se refiere como la frecuencia amortiguada de la oscilación, y ωn es la frecuencia natural de la oscilación. El término ζ afecta mucho al amortiguamiento y, por lo tanto, este término se llama relación de amortiguamiento.

Habrá diferentes comportamientos de la señal de salida, dependiendo del valor de la relación de amortiguamiento y examinemos cada uno de los casos, uno por uno.

Usando esto como base, analizaremos la respuesta en el tiempo de un sistema de control de segundo orden. Lo haremos analizando la respuesta al escalón unitario de un sistema de control de segundo orden en el dominio de la frecuencia, antes de convertirlo en el dominio del tiempo.

Respuesta al Escalón de un Sistema de Segundo Orden

Cuando la relación de amortiguamiento es cero, podemos reescribir la expresión anterior de la señal de salida como

Como en esta expresión no hay un término exponencial, la respuesta en el tiempo del sistema de control es no amortiguada para la función de entrada de escalón unitario con una relación de amortiguamiento cero.

Página 137. Figura 6.4.3. del libro "Sistema de control automático" por Hasan.

Ahora examinemos el caso cuando la relación de amortiguamiento es unidad.



En esta expresión de la señal de salida, no hay una parte oscilante en la función de escalón unitario. Y, por lo tanto, esta respuesta en el tiempo del sistema de control de segundo orden se denomina críticamente amortiguada.

Ahora examinaremos la respuesta en el tiempo de un sistema de control de segundo orden con una función de entrada de escalón unitario cuando la relación de amortiguamiento es mayor que uno.

Tomando la transformada inversa de Laplace de ambos lados de la ecuación anterior obtenemos,


En la expresión anterior, hay dos constantes de tiempo.

Para el valor de ζ comparativamente mucho mayor que uno, el efecto de la constante de tiempo más rápida en la respuesta en el tiempo puede ser despreciado y la expresión final de la respuesta en el tiempo viene dada como

Figura 6.4.5 de la página 139 del libro "Sistema de control automático" por Hasan.

Respuesta en el Tiempo de Amortiguamiento Crítico de un Sistema de Control

La expresión de la respuesta en el tiempo de un sistema de control de segundo orden sujeto a una función de entrada de escalón unitario se da a continuación.

El recíproco de la constante de la potencia negativa del término exponencial en la parte de error de la señal de salida es realmente responsable del amortiguamiento de la respuesta de salida.

Aquí, en esta ecuación, es ζωn. El recíproco de la constante de la potencia negativa del término exponencial en la señal de error se conoce como constante de tiempo.

Ya hemos examinado que cuando el valor de ζ (también conocido como relación de amortiguamiento) es menor que la unidad, la oscilación de la respuesta decae exponencialmente con una constante de tiempo 1/ζωn. Esto se llama respuesta subamortiguada.

Por otro lado, cuando ζ es mayor que la unidad, la respuesta de la función de entrada de escalón unitario dada al sistema, no presenta una parte oscilante en ella.

Esto se llama respuesta sobreamortiguada. También hemos examinado la situación cuando la relación de amortiguamiento es unidad, es decir, ζ = 1.

En esa situación, el amortiguamiento de la respuesta está gobernado por la frecuencia natural ωn solamente. El amortiguamiento real en esa condición se conoce como amortiguamiento crítico de la respuesta.

Como ya hemos visto en las expresiones asociadas de la respuesta en el tiempo del sistema de control sujeto a la función de paso de entrada, la parte oscilante está presente en la respuesta cuando la relación de amortiguamiento (ζ)