Phản ứng theo thời gian của Hệ thống Điều khiển bậc hai (Ví dụ có lời giải)

Bậc của hệ thống điều khiển được xác định bởi lũy thừa của 's' trong mẫu của hàm truyền.

Nếu lũy thừa của s trong mẫu của hàm truyền của hệ thống điều khiển là 2, thì hệ thống được gọi là hệ thống điều khiển bậc hai.

Biểu thức chung của hàm truyền của hệ thống điều khiển bậc hai được cho như sau

Ở đây, ζ và ωn lần lượt là tỷ số giảm chấn và tần số tự nhiên của hệ thống (chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về hai thuật ngữ này sau).

Sắp xếp lại công thức trên, tín hiệu đầu ra của hệ thống được cho như sau

Nếu chúng ta coi hàm bước đơn vị là tín hiệu đầu vào của hệ thống, thì phương trình đầu ra của hệ thống có thể được viết lại như sau

Lấy biến đổi Laplace ngược của phương trình trên, chúng ta được

Biểu thức trên của tín hiệu đầu ra c(t) có thể được viết lại như sau

Lỗi của tín hiệu phản hồi được cho bởi e(t) = r (t) – c(t), và do đó.

Từ biểu thức trên, rõ ràng rằng lỗi của tín hiệu là dạng dao động với biên độ giảm theo cấp số nhân khi ζ < 1.

Tần số của dao động là ωd và hằng số thời gian giảm theo cấp số nhân là 1/ζωn.

Trong đó, ωd, được gọi là tần số dao động giảm chấn, và ωn là tần số tự nhiên của dao động. Thuật ngữ ζ ảnh hưởng rất nhiều đến việc giảm chấn và do đó thuật ngữ này được gọi là tỷ số giảm chấn.

Có các hành vi khác nhau của tín hiệu đầu ra, tùy thuộc vào giá trị của tỷ số giảm chấn và hãy xem xét từng trường hợp, một cách tuần tự.

Dựa trên điều này, chúng ta sẽ phân tích phản ứng theo thời gian của hệ thống điều khiển bậc hai. Chúng ta sẽ làm điều này bằng cách phân tích phản ứng bước đơn vị của hệ thống điều khiển bậc hai trong miền tần số, trước khi chuyển đổi nó sang miền thời gian.

Phản ứng bước đơn vị của hệ thống điều khiển bậc hai

Khi tỷ số giảm chấn bằng không, chúng ta có thể viết lại biểu thức trên của tín hiệu đầu ra như sau

Trong biểu thức này, không có phần mũ chỉ số, do đó phản ứng theo thời gian của hệ thống điều khiển đối với hàm bước đơn vị với tỷ số giảm chấn bằng không là không giảm chấn.

Trang 137. Hình 6.4.3. của cuốn sách Hệ thống điều khiển tự động của Hasan.

Bây giờ, hãy xem xét trường hợp khi tỷ số giảm chấn bằng một.



Trong biểu thức này của tín hiệu đầu ra, không có phần dao động trong hàm bước đơn vị. Do đó, phản ứng theo thời gian của hệ thống điều khiển bậc hai này được gọi là giảm chấn tới hạn.

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét phản ứng theo thời gian của hệ thống điều khiển bậc hai đối với hàm bước đơn vị khi tỷ số giảm chấn lớn hơn một.

Lấy biến đổi Laplace ngược của cả hai bên của phương trình trên, chúng ta được,


Trong biểu thức trên, có hai hằng số thời gian.

Với giá trị của ζ so sánh lớn hơn nhiều so với một, tác dụng của hằng số thời gian nhanh hơn đối với phản ứng theo thời gian có thể bị bỏ qua và cuối cùng biểu thức phản ứng theo thời gian trở thành

Hình 6.4.5 trang 139 của cuốn sách Hệ thống điều khiển tự động của Hasan.

Phản ứng theo thời gian giảm chấn tới hạn của hệ thống điều khiển

Biểu thức phản ứng theo thời gian của hệ thống điều khiển bậc hai đối với hàm bước đơn vị được đưa ra dưới đây.

Ngược đảo của hằng số của lũy thừa âm của hàm mũ trong phần lỗi của tín hiệu đầu ra thực sự chịu trách nhiệm cho việc giảm chấn của phản ứng đầu ra.

Ở đây, trong phương trình này, nó là ζωn. Ngược đảo của hằng số của lũy thừa âm của hàm mũ trong tín hiệu lỗi được gọi là hằng số thời gian.

Chúng ta đã kiểm tra rằng khi giá trị của ζ (còn được gọi là tỷ số giảm chấn) nhỏ hơn một, dao động của phản ứng giảm theo cấp số nhân với hằng số thời gian 1/ζωn. Điều này được gọi là phản ứng giảm chấn thấp.

Ngược lại, khi ζ lớn hơn một, phản ứng của tín hiệu bước đơn vị được đưa vào hệ thống, không có phần dao động trong nó.

Điều này được gọi là phản ứng giảm chấn cao. Chúng ta cũng đã kiểm tra tình huống khi tỷ số giảm chấn bằng một, tức là ζ = 1.

Trong tình huống đó, việc giảm chấn của phản ứng được điều chỉnh bởi tần số tự nhiên ωn chỉ. Giảm chấn thực tế ở điều kiện đó được gọi là giảm chấn tới hạn của phản ứng.

Như chúng ta đã thấy trong các biểu thức liên quan đến phản ứng theo thời gian của hệ thống điều khiển đối với hàm bước đơn vị, phần dao động có mặt trong phản ứng khi tỷ số giảm chấn (ζ) nhỏ hơn một và nó không có mặt trong phản ứng khi tỷ số giảm chấn bằng một.