Временна характеристика на система от втори ред (Решен пример)

Поредността на системата за управление се определя от степента на 's' в знаменателя на нейната преходна функция.

Ако степента на s в знаменателя на преходната функция на система за управление е 2, тогава системата се нарича система за управление от втори ред.

Общият израз на преходната функция на система за управление от втори ред е даден като

Тук, ζ и ωn са съответно демпфиралното отношение и естествената честота на системата (ще научим подробно за тези два термина по-късно).

Преобразувайки формулата, изходът на системата е даден като

Ако приемем единична стъпковата функция като вход на системата, то уравнението за изхода на системата може да бъде записано като

Прилагайки обратната лапласова трансформация на горното уравнение, получаваме

Горният израз на изхода c(t) може да бъде записан като

Грешката на сигнала на отговора е дадена от e(t) = r (t) – c(t), и следователно.

От горния израз е ясно, че грешката на сигнала е от осцилиращ тип с експоненциално намаляваща амплитуда, когато ζ < 1.

Честотата на осцилациите е ωd, а времевата константа на експоненциалното затихване е 1/ζωn.

Където, ωd, се нарича демпфиранията честота на осцилациите, а ωn е естествената честота на осцилациите. Терминът ζ влияе много на демпфированието и затова този термин се нарича демпфирално отношение.

Ще има различни поведения на изходния сигнал, в зависимост от стойността на демпфиралното отношение, и нека разгледаме всеки от случаите, един по един.

Използвайки това като основа, ще анализираме времевия отговор на система за управление от втори ред. Ще направим това, като анализираме единичния стъпков отговор на система за управление от втори ред в честотната област, преди да я превърнем във времевата област.

Стъпков отговор на система от втори ред

Когато демпфиралното отношение е нула, можем да препишем горния израз на изходния сигнал като

Тъй като в този израз няма експоненциален член, времевият отговор на системата за управление е недемпфирани при единична стъпкова входна функция с нулево демпфирално отношение.

Страница 137. Фигура 6.4.3. от книгата "Автоматично управление" от Хасан.

Сега нека разгледаме случая, когато демпфиралното отношение е единица.



В този израз на изходния сигнал, няма осцилираща част в единичната стъпкова функция. Затова този времев отговор на система за управление от втори ред се нарича критично демпфирани.

Сега ще разгледаме времевия отговор на система за управление от втори ред при единична стъпкова входна функция, когато демпфиралното отношение е по-голямо от единица.

Прилагайки обратната лапласова трансформация на двете страни на горното уравнение, получаваме,


В горния израз има две времеви константи.

За стойности на ζ сравнително много по-големи от единица, ефектът на по-бързата времева константа върху времевия отговор може да бъде пренебрегнат и изразът за времевия отговор в крайна сметка е

Фигура 6.4.5 на страница 139 от книгата "Автоматично управление" от Хасан.

Критично демпфирани времеви характеристики на система за управление

Изразът за времевия отговор на система за управление от втори ред при единична стъпкова входна функция е даден по-долу.

Реципрочната стойност на константата на отрицателната степен на експоненциалния член в грешката на изходния сигнал е отговорна за демпфированието на изходния отговор.

Тук в това уравнение тя е ζωn. Рецепрочната стойност на константата на отрицателната степен на експоненциалния член в грешката на сигнала се нарича времева константа.

Вече разгледахме, че когато стойността на ζ (известна още като демпфирално отношение) е по-малка от единица, осцилациите на отговора затихват експоненциално с времева константа 1/ζωn. Това се нарича недемпфирани отговор.

От друга страна, когато ζ е по-голяма от единица, отговорът на единичната стъпкова входна функция, подадена на системата, не показва осцилираща част в него.

Това се нарича прекомерно демпфирани отговор. Разгл