İkinci Mertebeden Kontrol Sisteminin Zaman Cevabı (Çalışılmış Örnek)

Kontrol sisteminin mertebesi, aktarım fonksiyonunun paydasındaki ‘s’ ifadesinin kuvveti ile belirlenir.

Eğer bir kontrol sisteminin aktarım fonksiyonunun paydasındaki s ifadesinin kuvveti 2 ise, sistem ikinci mertebe kontrol sistemi olarak adlandırılır.

İkinci mertebe kontrol sisteminin aktarım fonksiyonunun genel ifadesi şöyledir

Burada, ζ ve ωn sırasıyla sistemin zayıflama oranı ve doğal frekansıdır (bu iki terim hakkında daha sonra detaylı bilgi edineceğiz).

Yukarıdaki formülü yeniden düzenleyerek, sistemin çıkışı şu şekilde verilir

Eğer sisteme birim adım fonksiyonu giriş olarak kabul edilirse, o zaman sistemin çıkış denklemi şu şekilde yeniden yazılabilir

Yukarıdaki denklemin ters Laplace dönüşümünü alarak, elde ederiz

c(t) çıkışının yukarıdaki ifadesi şu şekilde yeniden yazılabilir

Yanıtın sinyal hata değeri e(t) = r (t) – c(t) şeklinde verilir, bu nedenle.

Yukarıdaki ifadeden, ζ < 1 olduğunda sinyal hatasının amplitudunu eksponansiyel olarak azaran salınımlı tür olduğunu açıkça görebiliriz.

Salınımın frekansı ωd ve eksponansiyel azalan zaman sabiti 1/ζωn.

Burada, ωd, salınımın zayıflamış frekansı olarak adlandırılır, ve ωn salınımanın doğal frekansıdır. ζ terimi, zayıflamaya büyük ölçüde etki ettiği için bu terime zayıflama oranı denir.

Zayıflama oranının değerine bağlı olarak çıkış sinyalinin farklı davranışları olacak ve her bir durumu ayrı ayrı inceleyelim.

Bu temel üzerinden, ikinci mertebe kontrol sisteminin zaman yanıtlarını analiz edeceğiz. Bunun için, önce frekans alanında ikinci mertebe kontrol sisteminin birim adım yanıtı üzerinde analiz yapacağız, ardından bunu zaman alanına dönüştüreceğiz.

İkinci Mertebe Sistemin Adım Yanıtı

Zayıflama oranı sıfır olduğunda, yukarıdaki çıkış sinyali ifadesini şu şekilde yeniden yazabiliriz

Bu ifadede, herhangi bir üssel terim olmadığından, kontrol sisteminin birim adım girdi fonksiyonu için zayıflama oranı sıfır olduğunda zaman yanıtı zayıflamaz.

Kitap Otomatik Kontrol Sistemi, Hasan tarafından sayfa 137, Şekil 6.4.3.

Şimdi zayıflama oranı bir olduğunda durumu inceleyelim.



Bu çıkış sinyali ifadesinde, birim adım fonksiyonunda salınımlı bir kısmı yoktur. Bu nedenle, bu ikinci mertebe kontrol sisteminin zaman yanıtı kritik zayıflamış olarak adlandırılır.

Şimdi, zayıflama oranı birinden büyük olduğunda, ikinci mertebe kontrol sisteminin birim adım girdi fonksiyonuna göre zaman yanıtını inceleyelim.

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının ters Laplace dönüşümünü alarak, elde ederiz,


Yukarıdaki ifadede, iki zaman sabiti vardır.

Zayıflama oranı birden çok daha büyük olduğunda, hızlı zaman sabitinin zaman yanıtı üzerindeki etkisi ihmal edilebilir ve son olarak zaman yanıtı ifadesi şöyle olur

Kitap Otomatik Kontrol Sistemi, Hasan tarafından sayfa 139, Şekil 6.4.5.

Kontrol Sisteminin Kritik Zayıflamış Zaman Yanıtı

Birim adım girdi fonksiyonuna tabi olan ikinci mertebe kontrol sisteminin zaman yanıtı ifadesi aşağıda verilmiştir.

Çıkış sinyalinin hata kısmındaki üslü terimin negatif kuvvetinin sabitinin tersi, aslında çıkış yanıtı üzerinde zayıflama sorumludur.

Burada bu denklemde bu değer ζωn. Hata sinyalindeki üslü terimin negatif kuvvetinin sabitinin tersine, zaman sabiti denir.

Zayıflama oranı (ζ) birden küçük olduğunda, yanıtnın salınımları 1/ζωn zaman sabitiyle eksponansiyel olarak azaldığını zaten inceledik. Buna zayıf zayıflamış yanıt denir.

Diğer yandan, ζ birden büyük olduğunda, sisteme verilen birim adım girdiye karşılık gelen yanıta salınımlı bir bölüm bulunmaz.

Buna aşırı zayıflamış yanıt denir. Ayrıca, zayıflama oranının bir olduğu durumu da inceledik, yani ζ = 1.

Bu durumda, yanıtnın zayıflaması doğal frekans ωn tarafından yönetilir. Bu koşuldaki gerçek zayıflama, yanıttaki kritik zayıflama olarak bilinir.