Часова відповідь системи керування другого порядку (розв'язаний приклад)

Порядок системи керування визначається степенем 's' в знаменнику її передавальної функції.

Якщо степінь s в знаменнику передавальної функції системи керування дорівнює 2, то система називається системою керування другого порядку.

Загальний вираз передавальної функції системи керування другого порядку має наступний вигляд

Тут ζ і ωn — це коефіцієнт демпфування та природна частота системи відповідно (про ці два терміни ми детальніше дізнаємося пізніше).

Перетворивши формулу, вираз виходу системи має наступний вигляд

Якщо ми розглянемо одиничну ступінчасту функцію як вхід для системи, то рівняння виходу системи можна переписати як

Взявши обернене перетворення Лапласа від вищенаведеного рівняння, ми отримуємо

Вищенаведений вираз виходу c(t) можна переписати як

Похибка сигналу відгуку визначається як e(t) = r (t) – c(t), а тому.

З вищенаведеного виразу очевидно, що похибка сигналу є коливального типу з експоненціально спадною амплітудою, коли ζ < 1.

Частота коливань дорівнює ωd, а часова константа експоненціального спаду дорівнює 1/ζωn.

Тут, ωd називається загасною частотою коливань, а ωn — природною частотою коливань. Термін ζ сильно впливає на демпфування, тому його називають коефіцієнтом демпфування.

Вихідний сигнал буде мати різні поведінки, залежно від значення коефіцієнту демпфування, і давайте розглянемо кожен з цих випадків окремо.

Використовуючи це як основу, ми проаналізуємо часову відповідь системи керування другого порядку. Ми зробимо це, аналізуючи відгук на одиничну ступінчасту функцію системи керування другого порядку у частотному діапазоні, перш ніж перетворити його у часовий діапазон.

Відгук на ступінчасту функцію системи керування другого порядку

Коли коефіцієнт демпфування дорівнює нулю, ми можемо переписати вищенаведений вираз виходу сигналу як

Оскільки в цьому виразі немає експоненціального члена, часовий відгук системи керування є недемпфованим для одиничної ступінчастої функції вхідного сигналу з нульовим коефіцієнтом демпфування.

Стор. 137. Рис. 6.4.3. книги "Автоматичне керування" авторства Хасана.

Тепер давайте розглянемо випадок, коли коефіцієнт демпфування дорівнює одиниці.



У цьому виразі виходу сигналу немає коливального компонента для одиничної ступінчастої функції. Тому цей часовий відгук системи керування другого порядку називається критично демпфованим.

Тепер ми розглянемо часовий відгук системи керування другого порядку для одиничної ступінчастої функції, коли коефіцієнт демпфування більший за одиницю.

Взявши обернене перетворення Лапласа обох сторін вищенаведеного рівняння, ми отримуємо,


У цьому виразі є дві часові константи.

Для значення ζ, яке значно більше за одиницю, вплив швидкої часовій константи на часовий відгук можна знехтувати, і вираз часовго відгуку остаточно має наступний вигляд

Рис. 6.4.5 на стор. 139 книги "Автоматичне керування" авторства Хасана.

Критичне демпфування часових відгуків системи керування

Часовий відгук системи керування другого порядку при подачі одиничної ступінчастої функції вхідного сигналу має наступний вигляд.

Обернена величина сталої від'ємної степені експоненти в помилковій частині виходу сигналу фактично відповідає за демпфування виходу відгуку.

У цьому рівнянні це ζωn. Обернена величина сталої від'ємної степені експоненти в помилковому сигналі називається часовою константою.

Ми вже розглянули, що коли значення ζ (також відомий як коефіцієнт демпфування) менше за одиницю, коливання відгуку спадають експоненціально з часовою константою 1/ζωn. Це називається недемпфованим відгуком.