Toisen asteen ohjausjärjestelmän aikavasteko (laskennallinen esimerkki)

Ohjausjärjestelmän aste määräytyy sen siirtymäfunktion nimittäjän 's' potenssin perusteella.

Jos s:n potenssi siirtymäfunktion nimittäjässä on 2, järjestelmää kutsutaan toisen asteen ohjausjärjestelmäksi.

Toisen asteen ohjausjärjestelmän siirtymäfunktion yleinen ilmaisu on seuraava

Tässä ζ ja ωn ovat järjestelmän vaimennussuhde ja luonnollinen taajuus (tutkimme näitä kahden termiä tarkemmin myöhemmin).

Järjestelmän ulostulo voidaan esittää uudelleen järjestämällä edellinen kaava

Jos otamme yksikköaskelifunktion järjestelmän syötteenä, järjestelmän ulostulokaava voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti

Ottaen huomioon Laplacen käänteismuunnoksen yllä olevasta yhtälöstä, saamme

Yllä oleva c(t):n lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti

Vastauksen virhe on e(t) = r(t) – c(t), ja siksi.

Edellisestä lausekkeesta on selvää, että vastauksen virhe on heilurimainen muodossa eksponentiaalisesti heikentyvällä amplitudilla, kun ζ < 1.

Heilurin taajuus on ωd ja eksponentiaalisen heikennyksen aikavakio on 1/ζωn.

Tässä ωd on heilurin vaimennettu taajuus, ja ωn on luonnollinen taajuus. Termi ζ vaikuttaa paljon vaimentamiseen, ja siksi sitä kutsutaan vaimennussuhteeksi.

Ulostulon käyttäytyminen vaihtelee vaimennussuhteen arvon mukaan, ja tutkitaan nyt jokaisen tapauksen erikseen.

Tämän pohjalta analysoimme toisen asteen ohjausjärjestelmän aikavasteen. Tämän teemme analysoimalla toisen asteen ohjausjärjestelmän yksikköaskelivasteen taajuusalueessa, ennen kuin muutamme sen aika-alueeseen.

Toisen asteen järjestelmän askelivaste

Kun vaimennussuhde on nolla, voimme kirjoittaa yllä olevan ulostulon lausekkeen uudelleen seuraavasti

Koska tässä lausekkeessa ei ole eksponentiaalista termiä, ohjausjärjestelmän aikavaste on epävaimennettu yksikköaskelifunktioille nollana vaimennussuhteella.

Sivu 137. Kuvio 6.4.3. Hasanin kirjassa Automatic Control System.

Nyt tutkitaan tapaus, kun vaimennussuhde on yksi.



Tässä ulostulon lausekkeessa ei ole heilurimäistä osaa subjektiivisessa yksikköaskelifunktiossa. Siksi tämän toisen asteen ohjausjärjestelmän aikavaste kutsutaan kriittisesti vaimennetuksi.

Nyt tutkitaan toisen asteen ohjausjärjestelmän aikavastetta subjektiiviselle yksikköaskelifunktioille, kun vaimennussuhde on suurempi kuin yksi.

Ottaen Laplacen käänteismuunnoksen yhtälön molemmilta puolilta, saamme


Edellisessä lausekkeessa on kaksi aikavakiota.

Arvolla ζ, joka on paljon suurempi kuin yksi, nopean aikavakioparin vaikutusta aikavasteeseen voidaan jättää huomiotta, ja lopullinen aikavasteen lauseke tulee seuraavaksi

Kuvio 6.4.5 sivulla 139 Hasanin kirjassa Automatic Control System.

Kriittinen vaimennus ohjausjärjestelmän aikavastessa

Toisen asteen ohjausjärjestelmän aikavasteen lauseke subjektiiviselle yksikköaskelifunktioille on seuraava.

Virheen eksponentiaalisen termiparin negatiivinen vakio on itse asiassa vastuussa ulostulovasteen vaimennuksesta.

Tässä yhtälössä se on ζωn. Virhesignaalin eksponentiaalisen termiparin negatiivisen vakioparin käänteisluku tunnetaan aikavakioksi.

Olemme jo tutkineet, että kun vaimennussuhde (myös tunnettu vaimennussuhtena) on pienempi kuin yksi, vastauksen heiluri eksponentiaalisesti heikenee aikavakiolla 1/ζωn. Tätä kutsutaan alivaimennetuksi vastaukseksi.

Toisaalta, kun ζ on suurempi kuin yksi, vastaus yksikköaskelifunktioon, joka annetaan järjestelmälle, ei sisällä heilurimaista osaa.

Tätä kutsutaan ylivaimennetuksi vastaukseksi. Olemme myös tutkineet tilanteen, kun vaimennussuhde on yksi, eli ζ = 1.

Tässä tilanteessa vastauksen vaimennus hallitsee luonnollisen taajuuden ωn