دوسرا درجے کے کنٹرول سسٹم کا وقت کا جواب (کام کیا گیا مثال)

کنٹرول سسٹم کا آرڈر اس کے ترانسفر فنکشن کے مخرج میں 's' کی طاقت سے متعین ہوتا ہے۔

اگر کنٹرول سسٹم کے ترانسفر فنکشن کے مخرج میں s کی طاقت 2 ہو، تو اس سسٹم کو دوسرا درجہ کا کنٹرول سسٹم کہا جاتا ہے۔

دوسرا درجہ کا کنٹرول سسٹم کے ترانسفر فنکشن کا عام اظہار

یہاں، ζ اور ωn ترتیب سے سسٹم کا دامپنگ تناسب اور قدرتی فریکوئنسی ہیں (ہم بعد میں ان دو اصطلاحات کے بارے میں مفصل سیکھیں گے)۔

اس فارمولے کو دوبارہ ترتیب دیتے ہوئے، سسٹم کا آؤٹ پٹ یوں دیا جاتا ہے

اگر ہم سسٹم کے ان پٹ کے طور پر ایک یونٹ سٹیپ فنکشن کو لیں، تو سسٹم کا آؤٹ پٹ مساوات کو دوبارہ لکھا جا سکتا ہے

اوپر والی مساوات کا مقلوب لاپلاس تبدیلی لیتے ہوئے، ہم کو ملتا ہے

آؤٹ پٹ c(t) کا اوپر والا اظہار دوبارہ لکھا جا سکتا ہے

جواب کا ردعمل e(t) = r (t) – c(t) دیا گیا ہے، اس لیے۔

اوپر کے اظہار سے یہ واضح ہے کہ جب ζ < 1 ہو تو ردعمل کا سائنال تنازعی طور پر نوسان کرتا ہے جس کی مقدار کثیرالاضلاع طور پر گھٹتی ہے۔

نوسان کی فریکوئنسی ωd ہے اور کثیرالاضلاع گھٹاؤ کا وقت کا دائم 1/ζωn ہے۔

جہاں، ωd، نوسان کی دامپ شدہ فریکوئنسی کے طور پر جانا جاتا ہے، اور ωn نوسان کی قدرتی فریکوئنسی ہے۔ ζ کی مقدار کثیرالاضلاع گھٹاؤ کو بہت زیادہ متاثر کرتی ہے اور اس لیے اس کو دامپنگ تناسب کہا جاتا ہے۔

دمپنگ تناسب کی قدر کے بنیاد پر آؤٹ پٹ سائنال کے مختلف سلوکات ہوں گے اور چلو ہم یہ تمام مقدمات، ایک سے ایک، جانچتے ہیں۔

اس کو بنیاد مانتے ہوئے، ہم دوسرا درجہ کا کنٹرول سسٹم کے وقت کے جواب کا تجزیہ کریں گے۔ ہم اس کو کرنے کے لیے دوسرا درجہ کا کنٹرول سسٹم کے یونٹ سٹیپ جواب کا فریکوئنسی ڈومین میں تجزیہ کریں گے، قبل از اس کو وقت کے ڈومین میں تبدیل کرنا۔

دوسرا درجہ کا سسٹم کا اسٹیپ جواب

جب دامپنگ تناسب صفر ہو، ہم آؤٹ پٹ سائنال کے اوپر والے اظہار کو دوبارہ لکھ سکتے ہیں

کیونکہ اس اظہار میں کوئی کثیرالاضلاع اصطلاح نہیں ہے، اس لیے یونٹ سٹیپ ان پٹ فنکشن کے لیے سسٹم کا وقت کا جواب صفر دامپنگ تناسب کے ساتھ غیر دامپ شدہ ہوتا ہے۔

کتاب آٹومیٹک کنٹرول سسٹم بائی حسن کے صفحہ 137۔ فگر 6.4.3۔

اب چلو ہم دامپنگ تناسب کی مقدار ایک ہو تو کیس کو جانچتے ہیں۔



آؤٹ پٹ سائنال کے اس اظہار میں یونٹ سٹیپ فنکشن کے موضوعی نوسانی حصہ کی موجودگی نہیں ہے۔ اور اس لیے دوسرا درجہ کا کنٹرول سسٹم کا وقت کا جواب کریٹیکلی ڈیمپڈ کہا جاتا ہے۔

اب ہم دامپنگ تناسب ایک سے زیادہ ہو تو دوسرا درجہ کا کنٹرول سسٹم کے وقت کے جواب کو جانچتے ہیں۔

اوپر والی مساوات کے دونوں جانب کا مقلوب لاپلاس تبدیلی لیتے ہوئے ہم کو ملتا ہے،


اوپر کے اظہار میں دو وقت کے دائم ہیں۔

ζ کی مقدار کو متناسب طور پر ایک سے زیادہ کے لیے، تیز وقت کے دائم کا وقت کے جواب پر کا اثر نظر انداز کیا جا سکتا ہے اور آخر کار وقت کے جواب کا اظہار آتی ہے

کتاب آٹومیٹک کنٹرول سسٹم بائی حسن کے صفحہ 139 کے فگر 6.4.5۔

کنٹرول سسٹم کا کریٹیکل ڈیمپنگ وقت کا جواب

دوسرا درجہ کا کنٹرول سسٹم کا وقت کا جواب یونٹ سٹیپ ان پٹ فنکشن کے لحاظ سے نیچے دیا گیا ہے۔

آؤٹ پٹ سائنال کے غلطی کے حصے میں منفی طاقت کے استوانی کے دائم کا وہ متقابل جو فیکٹریل کو دامپ کرتا ہے، حقیقی طور پر آؤٹ پٹ کے جواب کو دامپ کرتا ہے۔

یہاں اس مساوات میں یہ ζωn ہے۔ غلطی سائنال میں منفی طاقت کے استوانی کے دائم کا متقابل کو وقت کا دائم کہا جاتا ہے۔