پاسخ زمانی سیستم کنترل مرتبه دوم (مثال حل شده)

مرتبه یک سیستم کنترلی با توان 's' در مخرج تابع انتقال آن تعیین می‌شود.

اگر توان s در مخرج تابع انتقال یک سیستم کنترلی ۲ باشد، آنگاه سیستم به عنوان سیستم کنترلی مرتبه دوم شناخته می‌شود.

عبارت عمومی تابع انتقال یک سیستم کنترلی مرتبه دوم به صورت زیر بیان می‌شود

در اینجا، ζ و ωn به ترتیب نسبت دامپینگ و فرکانس طبیعی سیستم هستند (ما بعداً در مورد این دو مفهوم به طور جزئی بیشتر خواهیم پرداخت).

با تغییر دادن فرمول بالا، خروجی سیستم به صورت زیر بیان می‌شود

اگر ما یک تابع پله واحد را به عنوان ورودی سیستم در نظر بگیریم، آنگاه معادله خروجی سیستم می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود

با گرفتن تبدیل لاپلاس وارون معادله بالا، داریم

عبارت فوق برای خروجی c(t) می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود

خطای سیگنال پاسخ به صورت e(t) = r (t) – c(t) بیان می‌شود، بنابراین.

از این عبارت مشخص است که خطای سیگنال از نوع نوسانی با مقدار نمایی کاهش می‌یابد وقتی ζ < 1.

فرکانس نوسانات ωd و ثابت زمانی کاهش نمایی 1/ζωn است.

که در آن، ωd به عنوان فرکانس میرا شده نوسانات شناخته می‌شود، و ωn فرکانس طبیعی نوسانات است. مقدار ζ به میزان زیادی بر میرایی تأثیر می‌گذارد و بنابراین این مقدار به عنوان نسبت دامپینگ شناخته می‌شود.

رویه‌های مختلفی برای سیگنال خروجی وجود دارد که بسته به مقدار نسبت دامپینگ متفاوت خواهد بود و حالا بیایید هر یک از این حالت‌ها را یک به یک بررسی کنیم.

با استفاده از این مفهوم به عنوان پایه، زمان پاسخ یک سیستم کنترلی مرتبه دوم را تحلیل خواهیم کرد. این کار را با تحلیل پاسخ پله واحد یک سیستم کنترلی مرتبه دوم در حوزه فرکانس و سپس تبدیل آن به حوزه زمان انجام می‌دهیم.

پاسخ پله سیستم مرتبه دوم

وقتی نسبت دامپینگ صفر است، می‌توانیم عبارت فوق برای سیگنال خروجی را به صورت زیر بازنویسی کنیم

چون در این عبارت، هیچ قسمت نمایی وجود ندارد، پاسخ زمانی سیستم کنترلی برای تابع پله واحد با نسبت دامپینگ صفر بدون میرایی است.

صفحه ۱۳۷. شکل ۶.۴.۳. کتاب سیستم کنترل خودکار توسط حسن.

حالا بیایید حالتی را که نسبت دامپینگ یک است بررسی کنیم.



در این عبارت خروجی، هیچ بخش نوسانی در تابع پله واحد وجود ندارد. بنابراین پاسخ زمانی سیستم کنترلی مرتبه دوم به عنوان میرایی بحرانی شناخته می‌شود.

حالا پاسخ زمانی یک سیستم کنترلی مرتبه دوم را برای تابع پله واحد وقتی نسبت دامپینگ بیشتر از یک است بررسی خواهیم کرد.

با گرفتن تبدیل لاپلاس وارون از هر دو طرف معادله بالا، داریم


در این عبارت، دو ثابت زمانی وجود دارد.

برای مقدار ζ که نسبتاً بسیار بیشتر از یک است، تأثیر ثابت زمانی سریع‌تر بر پاسخ زمانی می‌تواند نادیده گرفته شود و عبارت نهایی پاسخ زمانی به صورت زیر می‌شود

شکل ۶.۴.۵ صفحه ۱۳۹ کتاب سیستم کنترل خودکار توسط حسن.

پاسخ زمانی میرایی بحرانی سیستم کنترلی

عبارت پاسخ زمانی یک سیستم کنترلی مرتبه دوم تحت تابع پله واحد به صورت زیر بیان می‌شود.

معکوس ثابت قدرت منفی ترم نمایی در بخش خطا از سیگنال خروجی در واقع برای میرایی پاسخ خروجی مسئول است.

در این معادله آن ζωn است. معکوس ثابت قدرت منفی ترم نمایی در سیگنال خطا به عنوان ثابت زمانی شناخته می‌شود.

ما قبلاً بررسی کردیم که وقتی مقدار ζ (همچنین به عنوان نسبت دامپینگ شناخته می‌شود) کمتر از یک است، نوسان پاسخ با ثابت زمانی 1/ζωn نمایی کاهش می‌یابد. این به آن پاسخ زیردامپینگ شناخته می‌شود.