Временски одговор на систем за контрола од втор ред (Решена примерна задача)

Редот на контролен систем се определува со степенот на ‘s’ во именителот на неговата трансферна функција.

Ако степенот на s во именителот на трансферната функција на контролен систем е 2, тогаш системот се нарекува контолен систем од втор ред.

Општата израз за трансферната функција на контролен систем од втор ред е дадена како

Тука, ζ и ωn се односно коефициентот на демпфирање и природниот фреквенција на системот (ќе ги научиме за овие два термини подетално постигнуто).

Преработувајќи горниот израз, излезот на системот е даден како

Ако земеме јединична стапна функција како влез на системот, тогаш излезната равенка на системот може да се препишет како

Земајќи инверзна Лапласова трансформација на горната равенка, добиваме

Горниот израз за излез c(t) може да се препише како

Грешката на сигналот на одговорот е дадена со e(t) = r (t) – c(t), и затоа.

Од горенаведеното изразување е јасно дека грешката на сигналот е од тип осцилација со експоненцијално опадајќи магнитуд кога ζ < 1.

Честотата на осцилацијата е ωd и временската константа на експоненцијалното опадање е 1/ζωn.

Каде што, ωd, се нарекува заглушената честота на осцилацијата, а ωn е природната честота на осцилацијата. Терминот ζ многу влијае на заглушувањето и затоа овој термин се нарекува кофициент на заглушување.

Постојат различни однесувања на излезните сигнали, во зависност од вредноста на кофициентот на заглушување, и нека ги испитаме секој од случаите, еден по еден.

Користејќи го ова како основа, ќе анализираме временскиот одговор на контролен систем од втор ред. Тоа ќе го направиме анализа на единичниот корак-одговор на контролен систем од втор ред во фреквенцискиот домен, пред да го преведеме во временскиот домен.

Корак-одговор на систем од втор ред

Кога кофициентот на заглушување е нула, можеме да преработиме горенаведениот израз за излезните сигнали како

Бидејќи во овој израз нема експоненцијален член, временскиот одговор на контролниот систем е незаглушен за единична функција на корак со нултен кофициент на заглушување.

Страница 137. Слика 6.4.3. од книгата автоматски контролни системи од Хасан.

Сега нека го испитаме случајот кога кофициентот на заглушување е еден.



Во овој израз за излезните сигнали, нема осцилаторски дел во подметната единична функција на корак. И затоа овој временски одговор на системот од втор ред се нарекува критично заглушен.

Сега ќе го испитаме временски одговорот на системата за контрол второг ред со единична стапка како влезна функција кога коefициентот на демпфирање е поголем од еден.

Земајќи инверзна Лапласова трансформација на двете страни на горенаведената равенка, добиваме,


Во горенаведениот израз, има две временски константи.

За вредноста на ζ значително поголема од еден, ефектот на брзата временска константа врз временскиот одговор може да се занемари и временскиот одговор на крајот се добива како

Слика 6.4.5 од страница 139 од книгата за автоматски контролни системи од Hasan.

Критично демпфирање во временскиот одговор на контролниот систем

Изразот за временски одговор на систем за контрол второг ред со единична стапка како влезна функција е даден подолу.

Реципрокалната вредност на константата на негативната степен на експоненцијалниот член во грешката дел од излезниот сигнал на практика е одговорна за демпфирањето на излезниот одговор.

Тука во оваа равенка тоа е ζωn. Реципрокалната вредност на константата на негативната степен на експоненцијалниот член во сигналот за грешка е позната како временска константа.

Веќе го испитавме дека кога вредноста на ζ (познат и како коefициент на демпфирање) е помала од еден, осцилацијата на одговорот експоненцијално опфаѓа со временска константа 1/ζωn. Ова се нарекува недемпфирани одговор.

Отстрана, кога ζ е поголем од еден, одговорот на единичната стапка дадена на системот, не го покажува осцилаторниот дел.

Ова се нарекува прекудемпфирани одговор. Веќе го испитавме и случајот кога коefициентот на демпфирање е еден, тоест ζ = 1.

Во тој случај, демпфирањето на одговорот е регулирано само од природната фреквенција ωn. Демпфирањето во тој услов е познато како критично демпфирање на одговорот.

Како веќе видовме во поврзаните изрази на времескиот одговор на контролниот систем под влијание на стапка на влез, колебанието е присутно во одговорот кога коефициентот на демпфирање (ζ) е помал од еден, а не е присутно во одговорот кога коефициентот на демпфирање е еднаков на еден.

Тоа значи дека колебаничката дел од одговорот само исчезнува кога коефициентот на демпфирање станува единица. Затоа демпфирањето на одговорот при ζ = 1, е познато како критично демпфирање.

Почеточно, кога коефициентот на демпфирање е единица, одговорот е критички демпфирани и тогаш демпфирањето е познато како критично демпфирање.

Односот на константата на времетраење на критичкото демпфирање до константата на времетраење на реалното демпфирање е познат како коефициент на демпфирање. Бидејќи константата на времетраење на времескиот одговор на контролниот систем е 1/ζωn кога ζ≠ 1 и константата на времетраење е 1/ωn кога ζ = 1.

Функција на пренос на систем од втор ред

Обликот на функцијата на пренос за контролен систем од втор ред е даден како

Ако именителот на изразот е нула,

Овие две корени на равенката или овие две вредности на s претставуваат полите на функцијата на пренос на тој систем. Реалниот дел на корените претставува демпфирање, а имагинарниот дел претставува демпфирана фреквенција на одговорот.

Локацијата на корените на карактеристичната равенка за различни вредности на ζ, додека ωn е фиксирани, и соодветниот времески одговор за систем од втор ред е прикажан на сликата подолу.

Слика 8.4.7 страна 140 од книгата автоматски контролни системи од Хасан.

Спецификации на транизиран одговор на систем од втор ред.

Перформансата на контролниот систем може да се изрази во термини на транизиран одговор на јединична стапка на влез бидејќи е лесно да се генерира.

Да го разгледаме систем од втор ред во кој јединичен сигнал на стапка е даден и се претпоставува дека системот е почетно на покой. Тоа значи дека сите почетни услови на системот се нула. Времеските карактеристики на одговорот на системот под недемпфирани услови се цртаат подолу.

Слика 2.17 страна 92 од книгата автоматски контролни системи од Хасан.

Постојат бројни заеднички термини во карактеристиките на транизиран одговор и тоа се

1. Закашано време (td) е временото потребно за достигнување на 50% од крајната вредност од сигналот во неговата прва циклуса на осцилација.

2. Време на растеж (tr) е временото потребно за достигнување на крајната вредност од недостаточно демпфираниот сигнал во неговата прва циклуса на осцилација. Ако сигналот е прекумерно демпфирани, тогаш временото на растеж се брои како временото потребно за отговорот да се подигне од 10% до 90% од неговата крајна вредност.

3. Време на врв (tp) е просто временото потребно за отговорот да достигне својата прва врв, тоест врвта на првиот циклус на осцилација, или првото преодмерување.

4. Максимално преодмерување (Mp) е директната разлика помеѓу магнитудата на највисоката врв на временскиот одговор и магнитудата на неговата стабилна состојба. Максималното преодмерување се изразува во проценти од стабилната вредност на одговорот. Бидејќи првата врв на одговорот обично е најголема по магнитуда, максималното преодмерување е само нормализирана разлика помеѓу првата врв и стабилната вредност на одговорот.

• Време на стабилизација (ts) е временото потребно за одговорот да стане стабилен. Тоа е дефинирано како временото потребно за одговорот да достигне и да остане стабилен во определен опсег од 2% до 5% од неговата крајна вредност.

• Грешка во стабилна состојба (e ss ) е разликата помеѓу реалниот излез и желаниот излез во бесконечен временски опсег.

Формула за Време на растеж

Изразот на недостаточно демпфираниот втор ред контролен систем со единична стапка функција на влез,

Пак, според дефиницијата, магнитудата на излезниот сигнал во времето на растеж е 1. Тоа значи c(t) = 1, затоа

Формула за Време на врв

Според дефиницијата, кривата на одговор достигнува својата максимална вредност во моментот на врв. Затоа, во тој момент,

Формула за максимална прелет

Ако вметнеме изразот за временски интервал во изразот за одзив c(t), добиваме,

Формула за време на стабилизација

Веќе е дефинирано дека временската продолжителност на стабилизација на одзив е онаа времеска точка по која одзивот достигнува до својата стационарна состојба со вредност над 98% од својата крајна вредност.

Опазено е и дека оваа продолжителност е приближно 4 пати повеќе од временската константа на сигналот. Кога временската константа на системот на втор ред е 1/ζ ωn, истечението на временската продолжителност на стабилизација може да се изрази како