پاسخ زمانی سیستم کنترل مرتبه دوم (مثال کاربردی)

کنترل سیستم‌ها به توان 's' در مخرج تابع انتقال خود تقسیم‌بندی می‌شوند.

اگر توان s در مخرج تابع انتقال کنترل سیستم 2 باشد، آن سیستم را سیستم کنترل مرتبه دوم می‌نامند.

عبارت عمومی تابع انتقال سیستم کنترل مرتبه دوم به صورت زیر است

در اینجا، ζ و ωn به ترتیب نسبت دامپینگ و فرکانس طبیعی سیستم هستند (به طور دقیق درباره این دو مورد بعداً بحث خواهیم کرد).

با تغییر ترتیب فرمول بالا، خروجی سیستم به صورت زیر داده می‌شود

اگر یک تابع پله واحد را به عنوان ورودی سیستم در نظر بگیریم، آنگاه معادله خروجی سیستم می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود

با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله بالا، به دست می‌آوریم

عبارت خروجی c(t) می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود

خطای سیگنال پاسخ به صورت e(t) = r (t) – c(t) داده می‌شود، بنابراین.

از این عبارت مشخص است که خطای سیگنال از نوع نوسانی با مقداری کاهشی نمایی است وقتی ζ < 1.

فرکانس نوسانات ωd و ثابت زمانی کاهش نمایی 1/ζωn است.

که ωd به عنوان فرکانس دامپ شده نوسانات و ωn به عنوان فرکانس طبیعی نوسانات شناخته می‌شود. اصطلاح ζ تأثیر قابل توجهی بر دامپینگ دارد و بنابراین این اصطلاح به عنوان نسبت دامپینگ شناخته می‌شود.

عملکرد‌های مختلف سیگنال خروجی وجود دارد که بستگی به مقدار نسبت دامپینگ دارد و حال به بررسی هر یک از موارد یک به یک می‌پردازیم.

با استفاده از این پایه، پاسخ زمانی یک سیستم کنترل مرتبه دوم را تحلیل می‌کنیم. این کار را با تحلیل پاسخ پله واحد یک سیستم کنترل مرتبه دوم در حوزه فرکانسی انجام می‌دهیم، قبل از تبدیل آن به حوزه زمانی.

پاسخ پله سیستم مرتبه دوم

وقتی نسبت دامپینگ صفر است، می‌توانیم عبارت خروجی سیگنال بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم

چون در این عبارت، جمله نمایی وجود ندارد، پاسخ زمانی سیستم کنترل برای تابع پله واحد با نسبت دامپینگ صفر بدون دامپینگ است.

صفحه 137. شکل 6.4.3. کتاب سیستم کنترل خودکار توسط حسن.

حال به بررسی موردی که نسبت دامپینگ یک است می‌پردازیم.



در این عبارت خروجی سیگنال، قسمت نوسانی در تابع پله واحد وجود ندارد. بنابراین این پاسخ زمانی سیستم کنترل مرتبه دوم به عنوان کاملاً دامپ شده شناخته می‌شود.

حال به بررسی پاسخ زمانی یک سیستم کنترل مرتبه دوم با تابع پله واحد وقتی نسبت دامپینگ بیشتر از یک است می‌پردازیم.

با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس دو طرف معادله بالا به دست می‌آوریم،


در این عبارت، دو ثابت زمانی وجود دارد.

برای مقادیر ζ به طور نسبتاً زیاد بیشتر از یک، تأثیر ثابت زمانی سریع‌تر بر پاسخ زمانی ناچیز است و عبارت نهایی پاسخ زمانی به صورت زیر می‌شود

شکل 6.4.5 صفحه 139 کتاب سیستم کنترل خودکار توسط حسن.

پاسخ زمانی سیستم کنترل با دامپینگ بحرانی

عبارت پاسخ زمانی یک سیستم کنترل مرتبه دوم با تابع پله واحد به صورت زیر داده می‌شود.

معکوس ثابت قدرت منفی جمله نمایی در بخش خطا از سیگنال خروجی در واقع مسئول دامپینگ پاسخ خروجی است.

در این معادله این مقدار ζωn است. معکوس ثابت قدرت منفی جمله نمایی در سیگنال خطا به عنوان ثابت زمانی شناخته می‌شود.

ما قبلاً بررسی کردیم که وقتی مقدار ζ (همچنین به عنوان نسبت دامپینگ شناخته می‌شود) کمتر از یک است، نوسان پاسخ به صورت نمایی با ثابت زمانی 1/ζωn کاهش می‌یابد. این را پاسخ زیردامپ شده می‌نامند.

از طرف دیگر، وقتی ζ بیشتر از یک است، پاسخ تابع پله واحد داده شده به سیستم، قسمت نوسانی در آن نمایان نیست.