Vremenski odziv sustava druge naravi (Primjer rješenja)

Red sustava upravljanja određuje se potencijom 's' u nazivniku njegove funkcije prijenosa.

Ako je potencija s u nazivniku funkcije prijenosa sustava upravljanja 2, tada se sustav naziva sustavom upravljanja drugog reda.

Opći izraz funkcije prijenosa sustava upravljanja drugog reda daje se kao

Ovdje su ζ i ωn omjer prigušenja i prirodna frekvencija sustava, redom (ovaj dvije pojmove ćemo detaljnije razmotriti kasnije).

Ponovo uređujući gornji izraz, izlaz sustava daje se kao

Ako uzimamo jediničnu step funkciju kao ulaz sustava, tada se izlazni izraz sustava može napisati kao

Uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju gornjeg izraza, dobivamo

Gornji izraz izlaza c(t) može se napisati kao

Greška signala odziva dana je e(t) = r (t) – c(t), stoga.

Iz gornjeg izraza jasno je da je greška signala tipa oscilacija s eksponencijalno opadajućom amplitudom kada je ζ < 1.

Frekvencija oscilacija je ωd, a vremenska konstanta eksponencijalnog opadanja je 1/ζωn.

Pri čemu je ωd, poznata kao prigušena frekvencija oscilacija, a ωn prirodna frekvencija oscilacija. Term ζ značajno utječe na prigušenje, stoga se ovaj term naziva omjer prigušenja.

Bit će različiti ponašanja izlaznog signala, ovisno o vrijednosti omjera prigušenja, pa ćemo ispitati svaki od slučajeva, jedan po jedan.

Koristeći to kao temelj, analizirat ćemo vremenski odziv sustava upravljanja drugog reda. Učinit ćemo to analizirajući odziv na jediničnu step funkciju sustava upravljanja drugog reda u domeni frekvencija, prije pretvaranja u domenu vremena.

Odziv na step funkciju sustava drugog reda

Kada je omjer prigušenja nula, možemo ponovo napisati gornji izraz izlaznog signala kao

Kako u ovom izrazu nema eksponencijalnog dijela, vremenski odziv sustava upravljanja za jediničnu step funkciju s nultim omjerom prigušenja je neprigušen.

Stranica 137. Slika 6.4.3. iz knjige Automatski sustavi upravljanja Hasan.

Sada ćemo ispitati slučaj kada je omjer prigušenja jednak jedinici.



U ovom izrazu izlaznog signala, nema oscilatornog dijela u subjektivnoj jediničnoj step funkciji. Stoga se vremenski odziv sustava upravljanja drugog reda naziva kritično prigušenim.

Sada ćemo ispitati vremenski odziv sustava upravljanja drugog reda pod subjektivnom jediničnom step funkcijom kada je omjer prigušenja veći od jedan.

Uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju obje strane gornjeg izraza, dobivamo,


U gornjem izrazu postoje dvije vremenske konstante.

Za vrijednost ζ značajno veću od jedan, utjecaj brže vremenske konstante na vremenski odziv može se zanemariti, a izraz vremenskog odziva na kraju glasi

Slika 6.4.5 stranice 139 iz knjige Automatski sustavi upravljanja Hasan.

Kritično prigušenje vremenskog odziva sustava upravljanja

Izraz vremenskog odziva sustava upravljanja drugog reda pod jediničnom step funkcijom daje se ispod.

Reziprocna vrijednost konstante negativne potencije eksponencijalnog dijela u grešci izlaznog signala zapravo odgovara za prigušenje izlaznog odziva.

U ovom izrazu to je ζωn. Reziprocna vrijednost konstante negativne potencije eksponencijalnog dijela u grešci signala poznata je kao vremenska konstanta.

Već smo ispitali da kada je vrijednost ζ (poznat i kao omjer prigušenja) manja od jedinice, oscilacije odziva eksponencijalno opadaju sa vremenskom konstantom 1/ζωn. To se naziva podprigušenim odzivom.

S druge strane, kada je ζ veće od jedinice, odziv sustava na jediničnu step funkciju koja mu se daje, ne pokazuje oscilatorni dio.

To se naziva preprikušenim odzivom. Ispitali smo i situaciju kada je omjer prigušenja jednak jedinici, to jest ζ = 1.

U toj situaciji prigušenje odziva određuje se prirodnom frekvencijom ω