Funzione Descrittiva: Analisi dei Sistemi Non Lineari

La funzione descrittiva è una procedura approssimativa per l'analisi di certi problemi di controllo non lineare in ingegneria del controllo. Per iniziare, ricordiamo prima la definizione di base di un sistema di controllo lineare. I sistemi di controllo lineari sono quelli in cui è applicabile il principio di sovrapposizione (se vengono applicati contemporaneamente due ingressi, allora l'uscita sarà la somma delle due uscite). Nel caso di sistemi di controllo fortemente non lineari, non siamo in grado di applicare il principio di sovrapposizione.

L'analisi di diversi sistemi di controllo non lineari è molto difficile a causa del loro comportamento non lineare. Non possiamo utilizzare metodi di analisi convenzionali come il criterio di stabilità di Nyquist o il metodo polo-zero per analizzare questi sistemi non lineari, poiché questi metodi sono limitati ai sistemi lineari. Detto ciò, ci sono alcuni vantaggi dei sistemi non lineari:

1. I sistemi non lineari possono funzionare meglio dei sistemi lineari.

2. I sistemi non lineari sono meno costosi dei sistemi lineari.

3. Sono generalmente più piccoli e compatti rispetto ai sistemi lineari.

In pratica, tutti i sistemi fisici presentano qualche forma di non linearità. A volte può essere addirittura desiderabile introdurre intenzionalmente una non linearità per migliorare le prestazioni di un sistema o renderne l'operazione più sicura. Come risultato, il sistema è più economico del sistema lineare.

Uno degli esempi più semplici di un sistema con una non linearità introdotta intenzionalmente è un sistema controllato da un relè o ON/OFF. Ad esempio, in un tipico sistema di riscaldamento domestico, un forno viene acceso quando la temperatura scende al di sotto di un certo valore specificato e spento quando la temperatura supera un altro valore dato. Qui discuteremo due diversi tipi di analisi o metodi per analizzare i sistemi non lineari. I due metodi sono elencati di seguito e brevemente discussi con l'aiuto di un esempio.

1. Metodo della funzione descrittiva nel sistema di controllo

2. Metodo del piano di fase nel sistema di controllo

Comuni Non Linearità

Nei tipi di sistemi di controllo, non possiamo evitare la presenza di certi tipi di non linearità. Queste possono essere classificate come statiche o dinamiche. Un sistema per cui c'è una relazione non lineare tra ingresso e uscita, che non coinvolge un'equazione differenziale, è chiamato non linearità statica. D'altra parte, l'ingresso e l'uscita possono essere correlati attraverso un'equazione differenziale non lineare. Tale sistema è chiamato non linearità dinamica.
Ora discuteremo vari tipi di non linearità in un sistema di controllo:

1. Non linearità di saturazione

2. Non linearità di attrito

3. Non linearità di zona morta

4. Non linearità del relè (controller ON OFF)

5. Non linearità di backlash

Non Linearità di Saturazione

La non linearità di saturazione è un tipo comune di non linearità. Ad esempio, si osserva questa non linearità nella curva di magnetizzazione di un motore DC. Per comprendere questo tipo di non linearità, discutiamo la curva di saturazione o curva di magnetizzazione riportata di seguito:

Dalla curva sopra possiamo vedere che l'uscita mostra un comportamento lineare all'inizio, ma dopo c'è una saturazione nella curva che è un tipo di non linearità nel sistema. Abbiamo anche mostrato la curva approssimata.
Lo stesso tipo di non linearità di saturazione si può vedere anche in un amplificatore per cui l'uscita è proporzionale all'ingresso solo per un intervallo limitato di valori dell'ingresso. Quando l'ingresso supera questo intervallo, l'uscita tende a diventare non lineare.

Non Linearità di Attrito

Qualsiasi cosa che opponga il moto relativo del corpo è chiamata attrito. È un tipo di non linearità presente nel sistema. Un esempio comune in un motore elettrico in cui troviamo l'attrito di Coulomb dovuto al contatto di sfregamento tra le spazzole e il commutatore.

L'attrito può essere di tre tipi e sono elencati di seguito:

1. Attrito Statico : In parole semplici, l'attrito statico agisce sul corpo quando il corpo è fermo.

2. Attrito Dinamico : L'attrito dinamico agisce sul corpo quando c'è un moto relativo tra la superficie e il corpo.

3. Attrito Limite : È definito come il valore massimo dell'attrito limite che agisce sul corpo quando esso è fermo.
   L'attrito dinamico può essere classificato anche come (a) attrito di scorrimento (b) attrito di rotolamento. L'attrito di scorrimento agisce quando due corpi scivolano l'uno sull'altro, mentre l'attrito di rotolamento agisce quando i corpi rotolano su un altro corpo.
   Nel sistema meccanico abbiamo due tipi di attrito, ovvero (a) attrito viscoso (b) attrito statico.

Non Linearità di Zona Morte

La non linearità di zona morta è presente in vari dispositivi elettrici come motori, motori servo DC, attuatori ecc. Le non linearità di zona morta si riferiscono a una condizione in cui l'uscita diventa zero quando l'ingresso supera un certo valore limite.

Non Linearità dei Relè (Controller ON/OFF)

I relè elettromeccanici sono frequentemente utilizzati nei sistemi di controllo dove la strategia di controllo richiede un segnale di controllo con solo due o tre stati. Questo è anche chiamato controller ON/OFF o controller a due stati.

Non Linearità del Relè (a) ON/OFF (b) ON/OFF con Isteresi (c) ON/OFF con Zona Morte. La Fig. (a) mostra le caratteristiche ideali di un relè bidirezionale. In pratica, il relè non reagirà istantaneamente. Per correnti d'ingresso tra i due istanti di commutazione, il relè può trovarsi in una posizione o nell'altra a seconda della storia precedente dell'ingresso. Questa caratteristica è chiamata ON/OFF con isteresi, come mostrato nella Fig. (b). Un relè ha anche una quantità definita di zona morta in pratica, come mostrato nella Fig. (c). La zona morta è causata dal fatto che l'avvolgimento del campo del relè richiede una corrente finita per muovere l'armatura.

Non Linearità di Backlash

Un'altra importante non linearità comunemente presente nei sistemi fisici è l'isteresi nelle trasmissioni meccaniche come treni di ingranaggi e collegamenti. Questa non linearità è leggermente diversa dall'isteresi magnetica ed è comunemente chiamata non linearità di backlash. Il backlash in effetti è il gioco tra i denti dell'ingranaggio motore e quelli dell'ingranaggio trasmesso. Consideriamo un riduttore come mostrato nella figura (a) con il backlash illustrato nella fig. (b).

La Fig. (b) mostra i denti A dell'ingranaggio trasmesso situati a metà tra i denti B1, B2 dell'ingranaggio trasmesso. La Fig. (c) fornisce la relazione tra i movimenti d'ingresso e d'uscita. Mentre il dente A viene azionato in senso orario da questa posizione, non si verifica alcun movimento d'uscita fino a quando il dente A non entra in contatto con il dente B1 dell'ingranaggio trasmesso dopo aver percorso una distanza x/2. Questo movimento d'uscita corrisponde al segmento mn della Fig. (c). Dopo che è stato stabilito il contatto, l'ingranaggio trasmesso ruota in senso antiorario attraverso lo stesso angolo dell'ingranaggio motore se si assume che il rapporto di trasmissione sia unitario. Questo è illustrato dal segmento no. Quando il movimento d'ingresso viene invertito, il contatto tra i denti A e B1 viene perso e l'ingranaggio trasmesso diventa immediatamente fermo, assumendo che il carico sia controllato dall'attrito con inerzia trascurabile.
Il movimento d'uscita, quindi, continua fino a quando il dente A non ha percorso una distanza x in senso inverso, come mostrato nella Fig. (c) dal segmento op. Dopo che il dente A stabilisce il contatto con il dente B