Pagsasalaysay ng Function: Analisis ng mga Sistemang Hindi Linear
Ang describing function ay isang pamamaraan na may hangarin para sa pag-analisa ng ilang mga problema ng hindi linear na kontrol sa control engineering. Para simulan, tandaan muna natin ang pangunahing definisyon ng isang linear na sistema ng kontrol. Ang mga linear na sistema ng kontrol ay ang mga kung saan ang principle of superposition (kung ang dalawang input ay inilapat nang sabay-sabay, ang output ay magiging sum ng dalawang output) ay maari magamit. Sa kaso ng mga labis na hindi linear na sistema ng kontrol, hindi natin maipapakaila ang principle of superposition.
Ang pag-aanalisa ng iba't ibang mga hindi linear na sistema ng kontrol ay napakahirap dahil sa kanilang hindi linear na pag-uugali. Hindi natin maaaring gamitin ang mga konbensiyonal na pamamaraan ng analisis tulad ng Nyquist stability criterion o pole-zero method upang suriin ang mga hindi linear na sistema, sapagkat ang mga pamamaraan na ito ay limitado sa mga linear na sistema. Gayunpaman, may ilang mga pakinabang ang mga hindi linear na sistema:
Ang mga hindi linear na sistema ay maaaring mas mahusay kumpara sa mga linear na sistema.
Ang mga hindi linear na sistema ay mas murang kumpara sa mga linear na sistema.
Kadalasang mas maliliit at kompakto ang sukat ng mga hindi linear na sistema kumpara sa mga linear na sistema.
Sa praktika, lahat ng pisikal na sistema ay may uri ng hindi linearidad. Sa ilang panahon, maaaring gusto rin nating ipakilala ang hindi linearidad nang malayon upang mapabuti ang performance ng sistema o gawing ligtas ang operasyon nito. Bilang resulta, mas ekonomiko ang sistema kumpara sa linear na sistema.
Isa sa pinakamadaling halimbawa ng sistema na may ipinakilalang hindi linearidad ay ang relay controlled o ON/OFF system. Halimbawa, sa karaniwang sistema ng panaog sa bahay, ang furnace ay inililipon kapag ang temperatura ay bumaba sa ilalim ng tiyak na halaga at inililipon kapag ang temperatura ay lumampas sa ibinigay na halaga. Dito, susuriin natin ang dalawang iba't ibang uri ng analisis o pamamaraan para sa pag-aanalisa ng mga hindi linear na sistema. Ang dalawang pamamaraan ay nakasulat sa ibaba at maikling tinatalakay kasama ang tulong ng isang halimbawa.
Describing function pamamaraan sa sistema ng kontrol
Phase plane method sa sistema ng kontrol
Common Non Linearities
Sa karamihan ng types of control systems, hindi natin maaaring iwasan ang presensya ng ilang uri ng non-linearities. Ito ay maaaring ikategorya bilang static o dynamic. Isang sistema kung saan may hindi linear na relasyon sa pagitan ng input at output, na hindi kasama ang differential equation ay tinatawag na static nonlinearity. Sa kabilang banda, ang input at output ay maaaring magkaugnay sa pamamagitan ng nonlinear differential equation. Tawag dito ay dynamic nonlinearity.
Ngayon, susuriin natin ang iba't ibang uri ng non-linearities sa isang sistema ng kontrol:
Saturation nonlinearity
Friction nonlinearity
Dead zone nonlinearity
Relay nonlinearity (ON OFF controller)
Backlash nonlinearity
Saturation Nonlinearity
Ang saturation nonlinearity ay isang karaniwang uri ng nonlinearity. Halimbawa, makikita natin ang nonlinearity sa saturation sa magnetizing curve ng DC motor. Upang maintindihan ang uri ng nonlinearity na ito, talakayin natin ang saturation curve o magnetizing curve na ibinigay sa ibaba:
Mula sa nabanggit na curve, makikita natin na ang output ay nagpapakita ng linear na pag-uugali sa simula, ngunit pagkatapos ay may saturation sa curve na isa sa mga uri ng nonlinearity sa sistema. Ipinakita rin namin ang approximated curve.
Same type of saturation non linearity din makikita natin sa isang amplifier kung saan ang output ay proporsyonal sa input lamang para sa limitadong range ng values ng input. Kapag ang input ay lumampas sa range na ito, ang output ay naging hindi linear.
Friction Nonlinearity
Anuman na humaharang sa relasyon ng paggalaw ng katawan ay tinatawag na friction. Ito ay isang uri ng nonlinearity na naroroon sa sistema. Ang karaniwang halimbawa nito ay sa electric motor kung saan makikita ang coulomb friction drag dahil sa rubbing contact sa pagitan ng brushes at commutator.
Ang friction ay maaaring tatlong uri at sila ay naka-lista sa ibaba:
Static Friction : Sa madaling salita, ang static friction ay umiiral sa katawan kapag ito ay nasa estado ng pahinga.
Dynamic Friction : Ang dynamic friction ay umiiral sa katawan kapag may relasyong paggalaw sa pagitan ng surface at katawan.
Limiting Friction : Ito ay tinukoy bilang ang maximum na value ng limiting friction na umiiral sa katawan kapag ito ay nasa estado ng pahinga.
Ang dynamic friction ay maaari ring ikategorya bilang (a) Sliding friction (b) Rolling friction. Ang sliding friction ay umiiral kapag ang dalawang katawan ay nag-slide sa bawat isa habang ang rolling friction ay umiiral kapag ang mga katawan ay nag-roll sa ibang katawan.
Sa mekanikal na sistema, mayroon tayo dalawang uri ng friction na (a) Viscous friction (b) Static friction.
Dead Zone Nonlinearity
Ang dead zone nonlinearity ay makikita sa iba't ibang electrical devices tulad ng motors, DC servo motors, actuators, atbp. Dead zone non linearities tumutukoy sa kondisyon kung saan ang output ay naging zero kapag ang input ay lumampas sa tiyak na limitasyon.
Relays Nonlinearity (ON/OFF Controller)
Ang electromechanical relays ay kadalasang ginagamit sa mga sistema ng kontrol kung saan ang estratehiya ng kontrol ay nangangailangan ng signal ng kontrol na may dalawa o tatlong state. Ito ay tinatawag ding ON/OFF controller o two state controller.
Relay Non-Linearity (a) ON/OFF (b) ON/OFF with Hysteresis (c) ON/OFF with Dead Zone. Fig (a) shows the ideal characteristics of a bidirectional relay. In practice, relay will not respond instantaneously. For input currents between the two switching instants, the relay may be in one position or other depending upon the previous history of the input. This characteristic is called ON/OFF with hysteresis that shows in Fig (b). A relay also has a definite amount of dead zone in practice that show in Fig (c). The dead zone is caused by the fact that the relay field winding requires a finite amount of current to move the armature.
Backlash Nonlinearity
Isang mahalagang nonlinearity na karaniwang umiiral sa pisikal na sistema ay ang hysteresis sa mekanikal na transmissions tulad ng gear trains at linkages. Ang nonlinearity na ito ay medyo iba mula sa magnetic hysteresis at karaniwang tinatawag na backlash nonlinearities. Ang backlash sa katotohanan ay ang play sa pagitan ng teeth ng drive gear at driven gear. Isaalang-alang ang gearbox na ipinakita sa figure (a) na may backlash na ipinakita sa fig (b).
Fig (b) shows the teeth A of the driven gear located midway between the teeth B1, B2 of the driven gear. Fig (c) gives the relationship between input and output motions. As the teeth A is driven clockwise from this position, no output motion takes place until the tooth A makes contact with the tooth B1 of the driven gear after traveling a distance x/2. This output motion corresponds to the segment mn of fig (c). After the contact is made the driven gear rotates counterclockwise through the same angle as the drive gear if the gear ratio is assumed to be unity. This is illustrated by the line segment no. As the input motion is reversed, the contact between the teeth A and B1 is lost and the driven gear immediately becomes stationary based on the assumption that the load is friction controlled with negligible inertia.
The output motion, therefore, causes till tooth A has traveled a distance x in the reverse direction as shown in fig (c) by the segment op. After the tooth A establishes contact with the tooth B2, the driven gear now mores in a clockwise direction as shown by segment pq. As the input motion is reversed the direction gear is again at standstill for the segment qr and then follows the drive gear along rn.
