Descripció de la funció: Anàlisi de sistemes no lineals
La funció descriptiva és un procediment aproximatiu per analitzar certs problemes de control no lineals en enginyeria de control. Per començar, recordem primer la definició bàsica d'un sistema de control lineal. Els sistemes de control lineals són aquells on es pot aplicar el principi de superposició (si es fan servir dos inputs simultàniament, llavors la sortida serà la suma de les dues sortides). En el cas dels sistemes de control molt no lineals, no podem aplicar el principi de superposició.
L'anàlisi de diferents sistemes de control no lineals és molt difícil a causa del seu comportament no lineal. No podem utilitzar mètodes d'anàlisi convencionals com el criteri de stabilitat de Nyquist o el mètode de pols i zeros per analitzar aquests sistemes no lineals, ja que aquests mètodes estan restringits als sistemes lineals. Tot i això, hi ha alguns avantatges en els sistemes no lineals:
Els sistemes no lineals poden funcionar millor que els sistemes lineals.
Els sistemes no lineals són menys costosos que els sistemes lineals.
Solen ser més petits i compacts en comparació amb els sistemes lineals.
En la pràctica, tots els sistemes físics tenen alguna forma de no linearitat. De vegades pot ser fins i tot desitjable introduir una no linearitat deliberadament per millorar el rendiment d'un sistema o fer-ne l'operació més segura. Com a resultat, el sistema és més econòmic que el sistema lineal.
Un dels exemples més simples d'un sistema amb una no linearitat introduïda intencionadament és un sistema controlat per relé o ON/OFF. Per exemple, en un sistema de calefacció típic d'una casa, un forn es posa en marxa quan la temperatura cau per davall d'un cert valor especificat i es desactiva quan la temperatura excedeix un altre valor donat. Aquí anem a discutir dos tipus diferents d'anàlisi o mètodes per analitzar els sistemes no lineals. Es presenten a continuació i es discuteixen breument amb l'ajuda d'un exemple.
Mètode de la funció descriptiva en el sistema de control
Mètode del pla de fase en el sistema de control
Non Linearitats Comunes
En la majoria de tipus de sistemes de control, no podem evitar la presència de certs tipus de no linearitats. Aquestes es poden classificar com estàtiques o dinàmiques. Un sistema per al qual hi ha una relació no lineal entre la entrada i la sortida, que no implica una equació diferencial, s'anomena no linearitat estàtica. D'altra banda, la entrada i la sortida poden estar relacionades mitjançant una equació diferencial no lineal. Aquest tipus de sistema s'anomena no linearitat dinàmica.
Ara anem a discutir diversos tipus de no linearitats en un sistema de control:
No linearitat de saturació
No linearitat de fricció
No linearitat de zona morta
No linearitat de relé (controlador ON OFF)
No linearitat de backlash
No Linearitat de Saturació
La no linearitat de saturació és un tipus comú de no linearitat. Per exemple, vegeu aquesta no linearitat en la saturació de la corba de magnetització d'un motor DC. Per entendre aquest tipus de no linearitat, discutim la corba de saturació o la corba de magnetització que es dóna a continuació:
De la corba anterior, podem veure que la sortida mostra un comportament lineal al principi, però després hi ha una saturació en la corba, que és un tipus de no linearitat en el sistema. També hem mostrat la corba aproximada.
El mateix tipus de no linearitat de saturació també podem veure-ho en un amplificador, on la sortida és proporcional a la entrada només en un rang limitat de valors de la entrada. Quan la entrada excedeix aquest rang, la sortida tendeix a tornar-se no lineal.
No Linearitat de Fricció
Tot el que oposa el moviment relatiu del cos es diu fricció. És un tipus de no linearitat present en el sistema. Un exemple comú és en un motor elèctric on trobem una fricció de Coulomb deguda al contacte fregant entre les escovilles i el comutador.
La fricció pot ser de tres tipus i es detallen a continuació:
Fricció Estàtica : En paraules senzilles, la fricció estàtica actua sobre el cos quan aquest està en repòs.
Fricció Dinàmica : La fricció dinàmica actua sobre el cos quan hi ha un moviment relatiu entre la superfície i el cos.
Fricció Limitant : Es defineix com el valor màxim de la fricció limitant que actua sobre el cos quan aquest està en repòs.
La fricció dinàmica també es pot classificar com (a) Fricció de deslizament (b) Fricció de rodament. La fricció de deslizament actua quan dos cossos deslizen un sobre l'altre, mentre que la fricció de rodament actua quan els cossos roden un sobre l'altre.
En el sistema mecànic, tenim dos tipus de fricció, a saber, (a) Fricció viscosa (b) Fricció estàtica.
No Linearitat de Zona Morta
La no linearitat de zona morta es mostra en diversos dispositius elèctrics com motors, motors servo DC, actuadors, etc. Les no linearitats de zona morta es referixen a una condició en què la sortida es converteix en zero quan la entrada supera un cert valor límit.
No Linearitat de Relés (Controlador ON/OFF)
Els relés electromecànics s'utilitzen freqüentment en sistemes de control on la estratègia de control requereix un senyal de control amb només dos o tres estats. Això també es coneix com a controlador ON/OFF o controlador de dos estats.
No Linearitat del Relé (a) ON/OFF (b) ON/OFF amb histerèsis (c) ON/OFF amb zona morta. La Figura (a) mostra les característiques ideals d'un relé bidireccional. En la pràctica, el relé no respon instantàniament. Per a corrents d'entrada entre els dos instants de commutació, el relé pot estar en una posició o altra depenent de l'historial previ de la entrada. Aquesta característica s'anomena ON/OFF amb histerèsis, que es mostra en la Figura (b). Un relé també té una quantitat definitiva de zona morta en la pràctica, que es mostra en la Figura (c). La zona morta es deu al fet que el voltant del relé necessita una quantitat finita de corrent per moure l'armadura.
No Linearitat de Backlash
Una altra no linearitat important que sovint es produeix en els sistemes físics és l'histerèsis en les transmissiós mecàniques com ara trens de rodes i mecanismes. Aquesta no linearitat és alguna cosa diferent de l'histerèsis magnètica i sovint es coneix com a no linearitats de backlash. El backlash, en efecte, és el joc entre els dents de la roda motora i els de la roda mota. Considerem una caixa de canvis com la que es mostra en la figura (a) amb backlash il·lustrat en la figura (b).
La Figura (b) mostra els dents A de la roda mota situats a mig camí entre els dents B1, B2 de la roda mota. La Figura (c) dóna la relació entre els moviments d'entrada i de sortida. Quan el dent A es mou en sentit horari des d'aquesta posició, no hi ha cap moviment de sortida fins que el dent A fa contacte amb el dent B1 de la roda mota després de viatjar una distància x/2. Aquest moviment de sortida correspon al segment mn de la Figura (c). Després de fer-se el contacte, la roda mota gira en sentit antihorari a través del mateix angle que la roda motora si es suposa que la raó de transmissió és unitària. Això es il·lustra pel segment no. Com el moviment d'entrada es reverteix, el contacte entre els dents A i B1 es perd i la roda mota immediatament es queda estacionària basant-se en l'assumpció que la càrrega
