Fonksiyon Tanımlama: Doğrusal Olmayan Sistemlerin Analizi

Açıklama fonksiyonu, kontrol mühendisliğinde belirli bazı doğrusal olmayan kontrol problemlerinin analizinde yaklaşık bir yöntemdir. Başlamadan önce, doğrusal bir kontrol sisteminin temel tanımını hatırlayalım. Doğrusal kontrol sistemleri, süperpozisyon ilkesi (iki giriş eş zamanlı olarak uygulanırsa, çıkış iki çıkışın toplamı olacaktır) uygulanabilir olan sistemlerdir. Yüksek derecede doğrusal olmayan kontrol sistemlerinde ise süperpozisyon ilkesini uygulayamayız.

Farklı doğrusal olmayan kontrol sistemlerinin analizi, doğrusal olmayan davranışları nedeniyle oldukça zordur. Bu doğrusal olmayan sistemleri analiz etmek için Nyquist istikrar kriteri veya kutup-sıfır yöntemi gibi geleneksel analiz yöntemlerini kullanamayız, çünkü bu yöntemler doğrusal sistemlere sınırlıdır. Bununla birlikte, doğrusal olmayan sistemlerin bazı avantajları vardır:

1. Doğrusal olmayan sistemler, doğrusal sistemlere göre daha iyi performans gösterebilir.

2. Doğrusal olmayan sistemler, doğrusal sistemlere göre daha az maliyetlidir.

3. Doğrusal sistemlere kıyasla genellikle daha küçük ve kompakt boyutlardadırlar.

Pratikte, tüm fiziksel sistemlerde belli bir doğrusal olmayanlık bulunmaktadır. Bazen, bir sistemin performansını iyileştirmek veya işletimini daha güvenli hale getirmek amacıyla doğrusal olmayan bir özellik bilinçli olarak eklenir. Sonuç olarak, sistem doğrusal sisteme göre daha ekonomiktir.

Bilinçli olarak eklenen doğrusal olmayan bir özelliğin en basit örneklerinden biri, röle kontrollü veya AÇ/KAPA sistemidir. Örneğin, tipik bir ev ısıtma sisteminde, sıcaklık belirli bir değerin altına düştüğünde fırın AÇILIR ve sıcaklık başka bir belirli değerden yüksek olduğunda KAPANIR. Burada, doğrusal olmayan sistemlerin analizi için iki farklı tür analiz veya yöntemi tartışacağız. İki yöntem aşağıda ve bir örnekle kısa bir şekilde ele alınmıştır.

1. Açıklama fonksiyonu yöntemi kontrol sistemlerinde

2. Kontrol sistemlerinde faz düzlemi yöntemi

Yaygın Doğrusal Olmayanlıklar

Çoğu kontrol sistemlerinde, belirli türlerde doğrusal olmayan unsurlardan kaçınmak mümkün değildir. Bunlar statik veya dinamik olarak sınıflandırılabilir. Giriş ve çıkış arasında doğrusal olmayan bir ilişki varsa ve bu ilişki diferansiyel denklem içermiyorsa, bu sistem statik doğrusal olmayan olarak adlandırılır. Diğer yandan, giriş ve çıkış bir doğrusal olmayan diferansiyel denklem aracılığıyla ilişkilendirilebilir. Böyle bir sistem dinamik doğrusal olmayan olarak adlandırılır.
Şimdi çeşitli türde kontrol sistemlerindeki doğrusal olmayanlıkları tartışacağız:

1. Doygunluk doğrusal olmayanlığı

2. Sürtünme doğrusal olmayanlığı

3. Ölü bölge doğrusal olmayanlığı

4. Röle doğrusal olmayanlığı (AÇ/KAPA kontrolcüsü)

5. Geri vuruş doğrusal olmayanlığı

Doygunluk Doğrusal Olmayanlığı

Doygunluk doğrusal olmayanlığı yaygın bir doğrusal olmayanlıktır. Örneğin, bir DC motor'un manyetize eğrisinde doygunlukta bu doğrusal olmayanlığı görebiliriz. Bu tür doğrusal olmayanlığı anlamak için aşağıdaki doygunluk eğrisi veya manyetize eğrisini tartışalım:

Yukarıdaki eğriden, çıkışın başlangıçta doğrusal davranış gösterdiğini ancak sonrasında eğride bir doygunluk olduğunu görebiliriz. Bu, sistemin bir tür doğrusal olmayanlığını gösterir. Yaklaşık eğri de gösterilmiştir.
Aynı tür doygunluk doğrusal olmayanlığı, amplitörde de görülebilir. Amplitör, girişin sadece sınırlı bir aralıkta orantılıdır. Giriş bu aralığı aşarsa, çıkış doğrusal olmayan hale gelir.

Sürtünme Doğrusal Olmayanlığı

Cismi hareket etmesine karşı olan her şey sürtünme olarak adlandırılır. Bu, sistemin içinde bulunan bir tür doğrusal olmayanlıktır. Ortak bir örnek, bir elektrik motoru'dadır. Burada, fırçalar ve komütatör arasındaki sürtünme sonucu Coulomb sürtünme sürüklenmesi görülür.

Sürtünme üç tür olabilir ve bunlar aşağıda verilmiştir:

1. Statik Sürtünme : Basitçe ifade edersek, statik sürtünme cisme hareket etmediği zaman etkindir.

2. Dinamik Sürtünme : Dinamik sürtünme, yüzey ve cisim arasında nispi bir hareket olduğunda cisme etkindir.

3. Limit Sürtünme : Bu, cismi hareket etmeden durduğu zaman üzerinde etkili olan maksimum limit sürtünmesi olarak tanımlanır.
   Dinamik sürtünme, (a) Kayma sürtünmesi (b) Yalpa sürtünmesi olarak da sınıflandırılabilir. Kayma sürtünmesi, iki cismin birbirinin üzerinde kaydırdığında etkindir, yalpa sürtünmesi ise iki cismin birinin diğerinin üzerine yaldırdığı zaman etkindir.
   Mekanik sistemlerde, (a) Viskoz sürtünme (b) Statik sürtünme olmak üzere iki tür sürtünme bulunmaktadır.

Ölü Bölge Doğrusal Olmayanlığı

Ölü bölge doğrusal olmayanlığı, motorlar, DC servomotorlar, aktüatörler vb. gibi çeşitli elektrik ekipmanlarında görülmektedir. Ölü bölge doğrusal olmayanlıkları, giriş belirli bir sınır değerini aşmaya çalıştığında çıkışın sıfır olduğu bir durumu ifade eder.

Röle Doğrusal Olmayanlığı (AÇ/KAPA Kontrolcüsü)

Elektromekanik röleler, kontrol stratejisinin sadece iki veya üç durumlu bir kontrol sinyali gerektirdiği kontrol sistemlerinde sıkça kullanılır. Bu, ayrıca AÇ/KAPA kontrolcüsü veya iki durumlu kontrolcü olarak da adlandırılır.

Röle Doğrusal Olmayanlığı (a) AÇ/KAPA (b) Histeresisli AÇ/KAPA (c) Ölü Bölgesi İle AÇ/KAPA. Şekil (a), çift yönlü bir rölenin ideal karakteristiklerini göstermektedir. Pratikte, röle anında tepki vermeyecektir. İki ana geçiş anı arasındaki giriş akımları için, röle önceki giriş geçmişine bağlı olarak bir pozisyonda ya da diğerinde olabilir. Bu karakteristik, Şekil (b)’de gösterilen histeresisli AÇ/KAPA olarak adlandırılır. Ayrıca, röle pratikte kesin bir ölü bölgesi de vardır, bu da Şekil (c)’de gösterilmektedir. Ölü bölge, röle alan sarımı için hareket ettirmek üzere belirli bir miktar akım gerektirmesi nedeniyledir.

Geri Vuruş Doğrusal Olmayanlığı

Fiziksel sistemlerde sıkça karşılaşılan diğer önemli bir doğrusal olmayanlık, dişli tekerlekler ve bağlantı grupları gibi mekanik iletimlerde görülen histeresistir. Bu doğrusal olmayanlık, manyetik histeresisten biraz farklıdır ve genellikle geri vuruş doğrusal olmayanlıkları olarak adlandırılır. Geri vuruş, asıl dişlinin dişleri ile sürüklendiği dişler arasındaki oynaklığı ifade eder. Aşağıdaki figür (a)’da gösterildiği gibi bir dişli kutusu düşünün, figür (b)’de gösterildiği gibi geri vuruş içerir.

Figür (b), sürüklendiği dişlinin B1, B2 dişleri arasında yer alan sürüklendiği dişlinin A dişini göstermektedir. Figür (c), giriş ve çıkış hareketleri arasındaki ilişkiyi vermektedir. A dişi, bu pozisyondan saat yönünde itilinceye kadar hiç çıkış hareketi olmaz. Sürüklendiği dişlinin B1 dişine temas kurana kadar x/2 mesafesi kat eder. Bu çıkış hareketi, figür (c)’de mn segmentine karşılık gelir. Temas kurulduktan sonra, dişli oranı bir kabul edilirse, sürüklendiği dişli, sürüklendiği dişli ile aynı açıya döner. Bu, no segmenti ile gösterilmiştir. Giriş hareketi tersine çevrildiğinde, A dişi ile B1 dişi arasındaki temas kaybolur ve sürüklendiği dişli, sürtünmenin kontrol ettiği ve inercisi ihmal edilebilir kabul edilen yük nedeniyle derhal durur.
Çıkış hareketi, A dişi ters yönde x mesafesi kat etene kadar devam eder, bu da figür (c)’de op segmenti ile gösterilmiştir. A dişi, B