Περιγραφή Λειτουργίας: Ανάλυση Μη Γραμμικών Συστημάτων

Η συνάρτηση περιγραφής είναι μια προσεγγιστική διαδικασία για την ανάλυση ορισμένων μη γραμμικών προβλημάτων ελέγχου στη μηχανική ελέγχου. Για να ξεκινήσουμε, ας θυμηθούμε πρώτα το βασικό ορισμό ενός γραμμικού συστήματος ελέγχου. Τα γραμμικά συστήματα ελέγχου είναι εκείνα όπου εφαρμόζεται το αρχή της υπερθέσεως (αν δύο εισόδους εφαρμοστούν ταυτόχρονα, τότε η έξοδος θα είναι η αθροιστική των δύο εξόδων). Στην περίπτωση των εξαιρετικά μη γραμμικών συστημάτων ελέγχου, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή της υπερθέσεως.

Η ανάλυση διαφορετικών μη γραμμικών συστημάτων ελέγχου είναι πολύ δύσκολη λόγω της μη γραμμικής συμπεριφοράς. Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε συμβατικές μεθόδους ανάλυσης, όπως το κριτήριο σταθερότητας Nyquist ή τη μέθοδο πόλων-μηδενών, για να αναλύσουμε αυτά τα μη γραμμικά συστήματα, καθώς αυτές οι μεθόδοι περιορίζονται σε γραμμικά συστήματα. Ωστόσο, υπάρχουν μερικά πλεονεκτήματα στα μη γραμμικά συστήματα:

1. Τα μη γραμμικά συστήματα μπορούν να επιδείξουν καλύτερη απόδοση από τα γραμμικά συστήματα.

2. Τα μη γραμμικά συστήματα είναι φθηνότερα από τα γραμμικά συστήματα.

3. Είναι συνήθως μικρότερα και συμπαγήστερα σε μέγεθος σε σύγκριση με τα γραμμικά συστήματα.

Στην πράξη, όλα τα φυσικά συστήματα έχουν κάποια μορφή μη γραμμικότητας. Ανάμεσα σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί να είναι επιθυμητό να εισαχθεί μια μη γραμμικότητα σκόπιμα, προκειμένου να βελτιωθεί η απόδοση ενός συστήματος ή να γίνει η λειτουργία του ασφαλέστερη. Ως αποτέλεσμα, το σύστημα είναι πιο οικονομικά από το γραμμικό σύστημα.

Ένα από τα απλούστερα παραδείγματα ενός συστήματος με επιθυμητή μη γραμμικότητα είναι ένα σύστημα με ρελέ ή ON/OFF. Για παράδειγμα, σε ένα συνηθισμένο σύστημα θέρμανσης σπιτιού, ένας φούρνος ενεργοποιείται όταν η θερμοκρασία πέφτει κάτω από μια συγκεκριμένη τιμή και απενεργοποιείται όταν η θερμοκρασία ξεπερνά άλλη δεδομένη τιμή. Εδώ θα συζητήσουμε δύο διαφορετικούς τύπους ανάλυσης ή μεθόδους για την ανάλυση των μη γραμμικών συστημάτων. Οι δύο μεθόδοι είναι αναφερθείσες παρακάτω και συνοψίζονται με τη βοήθεια ενός παραδείγματος.

1. Μέθοδος συνάρτησης περιγραφής στα συστήματα ελέγχου

2. Μέθοδος επίπεδου φάσης στα συστήματα ελέγχου

Κοινές Μη Γραμμικότητες

Σε περισσότερα τύπους συστημάτων ελέγχου, δεν μπορούμε να αποφύγουμε την παρουσία ορισμένων τύπων μη γραμμικοτήτων. Αυτές μπορούν να ταξινομηθούν ως στατικές ή δυναμικές. Ένα σύστημα για το οποίο υπάρχει μια μη γραμμική σχέση μεταξύ εισόδου και έξοδου, χωρίς να περιλαμβάνεται μια διαφορική εξίσωση, ονομάζεται στατική μη γραμμικότητα. Από την άλλη, οι εισόδος και ο έξοδος μπορεί να σχετίζονται μέσω μιας μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης. Τέτοιο σύστημα ονομάζεται δυναμική μη γραμμικότητα.
Τώρα θα συζητήσουμε διάφορους τύπους μη γραμμικοτήτων σε ένα σύστημα ελέγχου:

1. Μη γραμμικότητα κατάστασης κόλλησης

2. Μη γραμμικότητα τριβής

3. Μη γραμμικότητα νεκρής ζώνης

4. Μη γραμμικότητα ρελέ (ελεγκτής ON/OFF)

5. Μη γραμμικότητα backlash

Μη γραμμικότητα κατάστασης κόλλησης

Η μη γραμμικότητα κατάστασης κόλλησης είναι ένας κοινός τύπος μη γραμμικότητας. Για παράδειγμα, δείτε αυτή τη μη γραμμικότητα στην καμπύλη μαγνητοποίησης του DC motor. Για να κατανοήσουμε αυτόν τον τύπο μη γραμμικότητας, ας συζητήσουμε την καμπύλη κατάστασης κόλλησης ή την καμπύλη μαγνητοποίησης, η οποία είναι δοθείσα παρακάτω:

Από την παραπάνω καμπύλη μπορούμε να δούμε ότι ο έξοδος δείχνει γραμμική συμπεριφορά στην αρχή, αλλά μετά από αυτό υπάρχει μια κατάσταση κόλλησης στην καμπύλη, η οποία είναι ένα είδος μη γραμμικότητας στο σύστημα. Έχουμε επίσης δείξει μια προσεγγιστική καμπύλη.
Ίδιο τύπος μη γραμμικότητας κατάστασης κόλλησης μπορεί να δοθεί σε έναν ενισχυτή, για τον οποίο ο έξοδος είναι ανάλογος με τον εισαγωγό μόνο για μια περιορισμένη γεωμετρία τιμών εισόδου. Όταν ο εισαγωγός ξεπερνά αυτή τη γεωμετρία, ο έξοδος τείνει να γίνει μη γραμμικός.

Μη γραμμικότητα τριβής

Οτιδήποτε αντιτίθεται στη σχετική κίνηση ενός σώματος ονομάζεται τριβή. Είναι ένα είδος μη γραμμικότητας που παρουσιάζεται στο σύστημα. Ένα κοινό παράδειγμα σε έναν ηλεκτρικό κινητήρα είναι η τριβή Coulomb λόγω της άμεσης επαφής μεταξύ των επιφάνειας των βρώσιμων και του συμμετρικού.

Η τριβή μπορεί να είναι τριών τύπων και αυτοί είναι οι παρακάτω:

1. Στατική τριβή : Με απλά λόγια, η στατική τριβή ενεργεί στο σώμα όταν το σώμα είναι σε στάση.

2. Δυναμική τριβή : Η δυναμική τριβή ενεργεί στο σώμα όταν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ της επιφάνειας και του σώματος.

3. Περιορισμένη τριβή : Είναι ορισμένη ως η μέγιστη τιμή περιορισμένης τριβής που ενεργεί στο σώμα όταν αυτό είναι σε στάση.
   Η δυναμική τριβή μπορεί επίσης να ταξινομηθεί ως (a) Τριβή σύρεσης (b) Τριβή κύλισης. Η τριβή σύρεσης ενεργεί όταν δύο σώματα συρούνται ο ένας πάνω στο άλλο, ενώ η τριβή κύλισης ενεργεί όταν τα σώματα κυλίονται ο ένας πάνω στο άλλο.
   Στα μηχανικά συστήματα έχουμε δύο τύπους τριβής, δηλαδή (a) Υγραία τριβή (b) Στατική τριβή.

Φιλοδώρημα