비선형 시스템 분석: 기술 함수
설명 함수는 제어 공학에서 특정 비선형 제어 문제를 분석하는 근사 절차입니다. 먼저 선형 제어 시스템의 기본 정의를 다시 상기해봅시다. 선형 제어 시스템은 중첩 원리 (두 입력이 동시에 적용되면 출력은 두 출력의 합)가 적용되는 시스템입니다. 고도로 비선형인 제어 시스템의 경우 중첩 원리를 적용할 수 없습니다.
비선형 동작으로 인해 다양한 비선형 제어 시스템의 분석은 매우 어렵습니다. 우리는 이러한 비선형 시스템을 분석하기 위해 나이퀴스트 안정성 기준이나 극점-영점 방법과 같은 전통적인 분석 방법을 사용할 수 없습니다. 이 방법들은 선형 시스템에 제한적입니다. 그렇다고 해서 비선형 시스템에는 몇 가지 장점이 있습니다:
비선형 시스템은 선형 시스템보다 더 나은 성능을 낼 수 있습니다.
비선형 시스템은 선형 시스템보다 비용이 적게 듭니다.
비선형 시스템은 일반적으로 선형 시스템보다 작고 컴팩트합니다.
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실제로 모든 물리 시스템은 어느 정도의 비선형성을 가지고 있습니다. 때때로 시스템의 성능을 개선하거나 안전하게 운영하기 위해 의도적으로 비선형성을 도입하는 것이 바람직할 수도 있습니다. 결과적으로, 시스템은 선형 시스템보다 경제적이게 됩니다. 의도적으로 비선형성을 도입한 시스템의 가장 간단한 예는 릴레이 제어 또는 ON/OFF 시스템입니다. 예를 들어, 일반 가정의 난방 시스템에서 온도가 특정 값 미만으로 떨어지면 히터가 ON되고, 다른 지정된 값 이상으로 올라가면 OFF됩니다. 여기서 우리는 비선형 시스템을 분석하는 두 가지 다른 유형의 분석 방법 또는 방법을 논의할 것입니다. 아래에 두 가지 방법이 작성되어 있으며, 예제를 통해 간략히 설명하겠습니다.
설명 함수 방법 위상 평면 방법 대부분의 제어 시스템에서는 특정 유형의 비선형성을 피할 수 없습니다. 이러한 비선형성은 정적 또는 동적으로 분류될 수 있습니다. 입력과 출력 사이에 미분 방정식이 포함되지 않는 비선형 관계가 있는 시스템을 정적 비선형성이라고 합니다. 반면, 입력과 출력이 비선형 미분 방정식을 통해 관련될 수 있는 시스템을 동적 비선형성이라고 합니다.
포화 비선형성 마찰 비선형성 데드 존 비선형성 릴레이 비선형성 (ON OFF 컨트롤러) 백래시 비선형성 포화 비선형성은 일반적인 유형의 비선형성입니다. 예를 들어, DC 모터의 자화 곡선에서 포화 현상을 볼 수 있습니다. 이 유형의 비선형성을 이해하기 위해 포화 곡선 또는 자화 곡선을 살펴보겠습니다: 물체의 상대 운동을 저지하는 것은 마찰이라고 합니다. 이것은 시스템에 존재하는 비선형성의 한 종류입니다. 전기 모터에서 브러시와 콤머터 사이의 마찰 접촉으로 인한 쿨롱 마찰 드래그를 찾을 수 있습니다. 정지 마찰 : 간단히 말해, 정지 마찰은 물체가 정지 상태일 때 작용합니다. 동적 마찰 : 표면과 물체 사이에 상대 운동이 있을 때 동적 마찰이 작용합니다. 극한 마찰 : 이는 물체가 정지 상태일 때 작용하는 최대값의 극한 마찰을 정의합니다. 데드 존 비선형성은 모터, DC 서보 모터, 액추에이터 등 다양한 전기 장치에서 나타납니다. 데드 존 비선형성은 입력이 특정 한계 값을 초과할 때 출력이 0이 되는 조건을 의미합니다.
전자기 릴레이는 제어 신호가 두 개 또는 세 개의 상태를 필요로 하는 제어 시스템에서 자주 사용됩니다. 이를 ON/OFF 컨트롤러 또는 2 상태 컨트롤러라고도 합니다.
기어 트레인 및 링크와 같은 기계 전송에서 발생하는 히스테리시스는 물리 시스템에서 일반적으로 발생하는 또 다른 중요한 비선형성입니다. 이 비선형성은 자기 히스테리시스와 약간 다르며, 일반적으로 백래시 비선형성이라고 부릅니다. 백래시는 주 기어와 구동 기어의 이빨 사이의 플레이입니다. 아래 그림 (a)에 표시된 기어박스를 고려해보겠습니다. 백래시는 그림 (b)에 설명되어 있습니다.
일반적인 비선형성
이제 우리는 제어 시스템의 다양한 종류의 비선형성에 대해 논의할 것입니다:
포화 비선형성
위 곡선에서 출력이 초기에는 선형적으로 행동하지만, 그 후 곡선에 포화가 발생하여 시스템의 한 종류의 비선형성이 됩니다. 우리는 또한 근사 곡선을 보여주었습니다.
같은 유형의 포화 비선형성은 입력 범위가 제한적인 증폭기에서도 볼 수 있습니다. 입력이 이 범위를 초과하면 출력이 비선형성을 나타냅니다.마찰 비선형성
마찰은 세 가지 유형으로 나눌 수 있으며, 다음과 같습니다:
동적 마찰은 (a) 슬라이딩 마찰 (b) 롤링 마찰로 분류할 수 있습니다. 슬라이딩 마찰은 두 물체가 서로 미끄러질 때 작용하고, 롤링 마찰은 물체가 다른 물체 위를 굴릴 때 작용합니다.
기계 시스템에서는 (a) 점성 마찰 (b) 정지 마찰이라는 두 가지 유형의 마찰이 있습니다.데드 존 비선형성
릴레이 비선형성 (ON/OFF 컨트롤러)
릴레이 비선형성 (a) ON/OFF (b) 히스테리시스가 있는 ON/OFF (c) 데드 존이 있는 ON/OFF. Fig (a)는 양방향 릴레이의 이상적인 특성을 보여줍니다. 실제로 릴레이는 즉시 반응하지 않습니다. 입력 전류가 두 스위칭 순간 사이에 있을 때, 릴레이는 이전 입력 역사에 따라 하나의 위치 또는 다른 위치에 있을 수 있습니다. 이를 ON/OFF 히스테리시스라고 하며, Fig (b)에 표시되어 있습니다. 실제 릴레이는 Fig (c)에 표시된 것처럼 일정량의 데드 존을 가지고 있습니다. 릴레이 필드 권선이 아머를 움직이기 위해서는 일정량의 전류가 필요하기 때문에 데드 존이 발생합니다.백래시 비선형성
그림 (b)는 구동 기어의 이빨 A가 구동 기어의 이빨 B1, B2 사이에 위치한 것을 보여줍니다. 그림 (c)는 입력과 출력 동작 간의 관계를 보여줍니다. 이빨 A가 이 위치에서 시계 방향으로 회전할 때, 구동 기어의 이빨 B1과 접촉하기 전까지는 출력 동작이 발생하지 않습니다. 이 출력 동작은 그림 (c)의 mn 부분에 해당합니다. 접촉이 이루어진 후, 기어비가 1이라 가정하면 구동 기어와 구동 기어가 같은 각도로 회전합니다. 이는 no 선분에 의해 설명됩니다. 입력 동작이 역방향으로 변경되면, 이빨 A와 B1 사이의 접촉이 사라지고, 구동 기어는 즉시 정지합니다. 이는 마찰 제어를 가정하고 무시할 수 있는 관성으로 가정한 것입니다.
출력 동작은 이빨 A가 역방향으로 x만큼 이동할 때까지 계속되며, 이는 그림 (c)의 op 선분에 의해 표시됩니다. 이빨 A가 이빨 B2와 접촉할 때, 구동 기어는 이제 시계 방향으로 회전하며, 이는 pq 선분에 의해 표시됩니다. 입력 동작이 역방향으로 변경되면, 구동 기어는 다시 qr 선분에서 정지하고, rn 선분을 따라 구동 기어를 따르게 됩니다.
