非線形システムの解析：記述関数法

説明関数は、制御工学における特定の非線形制御問題を分析するための近似手順です。まず、線形制御システムの基本的な定義を思い出すところから始めましょう。線形制御システムとは、重ね合わせの原理（2つの入力が同時に適用された場合、出力は2つの出力の合計になる）が適用できるものです。高度に非線形な制御システムの場合、重ね合わせの原理を適用することはできません。

異なる非線形制御システムの解析は、その非線形な挙動により非常に困難です。我々は、これらの非線形システムを解析するために、ナイキスト安定性基準や極零点法などの従来の解析方法を使用することはできません。これらの方法は線形システムに限定されています。しかし、非線形システムにはいくつかの利点があります：

1. 非線形システムは線形システムよりも優れた性能を発揮することがあります。

2. 非線形システムは線形システムよりもコストがかかりません。

3. 線形システムと比較して、非線形システムは通常、小型でコンパクトです。

実際には、すべての物理システムには何らかの形の非線形性があります。時には、システムの性能を改善したり、操作を安全にするために意図的に非線形性を導入することが望ましいこともあります。結果として、システムは線形システムよりも経済的になります。

意図的に導入された非線形性を持つ最も単純なシステムの例の一つは、リレー制御またはオン/オフシステムです。たとえば、一般的な家庭の暖房システムでは、温度が特定の指定値以下になると暖炉がオンになり、温度が別の指定値を超えるとオフになります。ここでは、非線形システムを解析するための2つの異なるタイプの解析または方法について説明します。2つの方法は以下の通りです。

1. 説明関数法

2. 位相平面法

一般的な非線形性

ほとんどの種類の制御システムでは、特定の種類の非線形性の存在を避けることはできません。これらは静的または動的に分類することができます。入力と出力の間に微分方程式を含まない非線形な関係があるシステムは静的非線形性と呼ばれます。一方、入力と出力が非線形微分方程式を通じて関連しているシステムは動的非線形性と呼ばれます。
次に、制御システム内の様々な種類の非線形性について説明します：

1. 飽和非線形性

2. 摩擦非線形性

3. デッドゾーン非線形性

4. リレーノン線形性（オンオフコントローラー）

5. バックラッシュ非線形性

飽和非線形性

飽和非線形性は一般的な非線形性の一つです。例えば、DCモーターの磁化曲線の飽和を見ることができます。このタイプの非線形性を理解するためには、以下に示す飽和曲線または磁化曲線について説明します：

上記の曲線から、出力が最初は線形な挙動を示すが、その後曲線に飽和が生じるという非線形性が見られます。近似曲線も示しています。
同じような飽和非線形性は、アンプでも見られ、入力が一定範囲内であれば出力は入力に比例しますが、入力がこの範囲を超えると、出力は非線形になります。

摩擦非線形性

物体の相対運動を妨げるものは摩擦と呼ばれます。これはシステムに存在する一種の非線形性です。電気モーターでは、ブラシとコミュテータ間の接触によるクーロン摩擦が見られます。

摩擦は以下の3種類があります：

1. 静止摩擦 : 物体が静止しているときに静止摩擦が作用します。

2. 動摩擦 : 表面と物体の間に相対運動があるときに動摩擦が作用します。

3. 限界摩擦 : 物体が静止しているときに作用する最大の静止摩擦の値を指します。
   動摩擦は、スライド摩擦とローリング摩擦に分類されます。スライド摩擦は、二つの物体が互いに滑り合うときに作用し、ローリング摩擦は、物体が他の物体上で転がるときに作用します。
   機械システムでは、粘性摩擦と静止摩擦の2種類の摩擦があります。

デッドゾーン非線形性

デッドゾーン非線形性は、モーター、DCサーボモーター、アクチュエータなど、さまざまな電気機器で見られます。デッドゾーン非線形性とは、入力が特定の限界値を超えたときに出力がゼロになる状態を指します。

リレーノン線形性（オン/オフコントローラー）

電磁リレーは、制御戦略が2つまたは3つの状態を持つ制御信号を必要とする制御システムで頻繁に使用されます。これはオン/オフコントローラーや2状態コントローラーとも呼ばれます。

リレーノン線形性 (a) オン/オフ (b) ヒステリシス付きオン/オフ (c) デッドゾーン付きオン/オフ。図 (a) は双方向リレーの理想的な特性を示しています。実際には、リレーは瞬時に反応しません。入力電流が2つの切り替え瞬間の間にある場合、リレーは前の入力履歴に基づいてどちらかの位置にある可能性があります。これが図 (b) に示すヒステリシス付きオン/オフの特性です。また、リレーには実際には図 (c) に示すようにデッドゾーンがあります。デッドゾーンは、リレーのフィールド巻線にアーマチュアを動かすのに一定量の電流が必要であるため生じます。

バックラッシュ非線形性

もう一つ重要な非線形性は、ギアトレインやリンク機構などの機械伝達系に見られるヒステリシスです。この非線形性は磁気ヒステリシスとは異なり、バックラッシュ非線形性と呼ばれています。バックラッシュとは、駆動ギアの歯と駆動されるギアの歯の間の遊隙を指します。下図 (a) に示すギアボックスを考えると、図 (b) に示すようにバックラッシュがあります。

図 (b) は、駆動されるギアの歯 A が駆動ギアの歯 B1, B2 の間に位置していることを示しています。図 (c) は入力と出力の動きの関係を示しています。歯 A がこの位置から時計回りに駆動されると、歯 A が駆動されるギアの歯 B1 と接触するまで、つまり x/2 だけ移動するまで出力の動きはありません。これは図 (c) のセグメント mn に対応します。接触が成立すると、ギア比が 1 と仮定した場合、駆動されるギアは駆動ギアと同じ角度で逆時計回りに回転します。これはセグメント no によって示されています。入力の動きが逆転すると、歯 A と歯 B1 との接触が失われ、負荷が摩擦制御で慣性が無視できるほど小さいと仮定すると、駆動されるギアはすぐに静止します。
出力の動きは、歯 A が x だけ逆方向に移動するまで続きます。これは図 (c) のセグメント op によって示されています。歯 A が歯 B2 と接触すると、駆動されるギアは再び時計回りに動き始めます。これはセグメント pq によって示されています。入力の動きが逆転すると、駆動されるギアは再び停止し、セグメント qr で静止し、その後 rn に沿って駆動ギアを追従します。

非線形システムの説明関数解析

制御システムでの説明関数法は、ニコライ・ミトロファノビッチ・クリヨイとニコライ・ボゴリュボフによって1930年に考案され、後にラルフ・コチェンバーガーによって発展させられました。

説明関数法は、非線形システムの安定性を求めるために使用されます。これまでに開発された非線形制御システムのためのすべての解析手法の中で、この方法は最も実用的に有用であると広く認識されています。この方法は基本的に、ナイキスト安定性基準を含む周波数応答法を非線形システムに拡張した近似法です。

非線形システムの説明関数は、入力正弦波の基本調波成分と出力の基本調波成分の振幅および位相差の複素比率として定義されます。これを正弦波説明関数とも呼びます。数学的には、