Описание функции: Анализ нелинейных систем
Описывающая функция — это приближенный метод анализа определенных нелинейных задач управления в инженерии управления. Начнем с напоминания основного определения линейной системы управления. Линейные системы управления — это такие, где применим принцип суперпозиции (если два входных сигнала применяются одновременно, то выход будет суммой двух выходов). В случае сильно нелинейных систем управления мы не можем применить принцип суперпозиции.
Анализ различных нелинейных систем управления очень сложен из-за их нелинейного поведения. Мы не можем использовать традиционные методы анализа, такие как критерий устойчивости Найквиста или метод полюсов и нулей, чтобы анализировать эти нелинейные системы, так как эти методы ограничены линейными системами. Тем не менее, есть некоторые преимущества у нелинейных систем:
Нелинейные системы могут работать лучше, чем линейные системы.
Нелинейные системы менее затратны, чем линейные системы.
Они обычно меньше и компактнее по размерам, чем линейные системы.
На практике все физические системы имеют некоторую форму нелинейности. Иногда может быть даже желательно ввести нелинейность намеренно, чтобы улучшить производительность системы или сделать ее работу более безопасной. В результате система становится более экономичной, чем линейная система.
Одним из самых простых примеров системы с намеренно введенной нелинейностью является релейная или система включения/выключения. Например, в типичной домашней системе отопления, печь включается, когда температура падает ниже определенного значения, и выключается, когда температура превышает другое заданное значение. Здесь мы обсудим два разных типа анализа или метода анализа нелинейных систем. Эти два метода приведены ниже и кратко обсуждаются на примере.
Метод описывающей функции в системе управления
Метод фазовой плоскости в системе управления
Общие нелинейности
В большинстве типов систем управления мы не можем избежать наличия определенных видов нелинейностей. Их можно классифицировать как статические или динамические. Система, для которой существует нелинейная связь между входом и выходом, не включающая дифференциальное уравнение, называется статической нелинейностью. С другой стороны, вход и выход могут быть связаны через нелинейное дифференциальное уравнение. Такая система называется динамической нелинейностью.
Теперь мы обсудим различные виды нелинейностей в системе управления:
Нелинейность насыщения
Нелинейность трения
Нелинейность мертвой зоны
Релейная нелинейность (контроллер вкл/выкл)
Нелинейность люфта
Нелинейность насыщения
Нелинейность насыщения — это распространенный тип нелинейности. Например, наблюдаем эту нелинейность в кривой намагничивания двигателя постоянного тока. Чтобы понять этот тип нелинейности, рассмотрим кривую насыщения или кривую намагничивания, приведенную ниже:
Из приведенной выше кривой видно, что выход в начале показывает линейное поведение, но после этого происходит насыщение кривой, которое является одним видом нелинейности в системе. Мы также показали аппроксимированную кривую.
Тот же тип нелинейности насыщения можно увидеть и в усилителе, где выход пропорционален входу только в ограниченном диапазоне значений входа. Когда вход превышает этот диапазон, выход начинает становиться нелинейным.
Нелинейность трения
Любое явление, препятствующее относительному движению тела, называется трением. Это один из видов нелинейности, присутствующих в системе. Общий пример — электродвигатель, в котором мы обнаруживаем трение Кулонова типа из-за трения контактов щеток с коллектором.
Трение может быть трех типов, они приведены ниже:
Статическое трение : Простыми словами, статическое трение действует на тело, когда тело находится в покое.
Динамическое трение : Динамическое трение действует на тело, когда есть относительное движение между поверхностью и телом.
Предельное трение : Это определяется как максимальное значение предельного трения, действующего на тело, когда оно находится в покое.
Динамическое трение также можно классифицировать как (a) скользящее трение (b) катящееся трение. Скользящее трение действует, когда два тела скользят друг по другу, а катящееся — когда тела катятся друг по другу.
В механических системах у нас есть два типа трения, а именно (a) вязкое трение (b) статическое трение.
Нелинейность мертвой зоны
Нелинейность мертвой зоны проявляется во многих электрических устройствах, таких как двигатели, сервомоторы постоянного тока, исполнительные механизмы и т.д. Нелинейности мертвой зоны означают состояние, при котором выход становится нулевым, когда вход превышает определенное предельное значение.
Релейная нелинейность (контроллер вкл/выкл)
Электромеханические реле часто используются в системах управления, где стратегия управления требует сигнала управления с двумя или тремя состояниями. Это также называется контроллером вкл/выкл или двухпозиционным контроллером.
Релейная нелинейность (a) вкл/выкл (b) вкл/выкл с гистерезисом (c) вкл/выкл с мертвой зоной. Рис. (a) показывает идеальные характеристики двунаправленного реле. На практике реле не реагирует мгновенно. Для входных токов между моментами переключения реле может находиться в одном положении или другом, в зависимости от предыдущей истории входа. Эта характеристика называется вкл/выкл с гистерезисом, что показано на рис. (b). У реле также есть определенная мертвая зона на практике, что показано на рис. (c). Мертвая зона вызвана тем, что обмотка реле требует конечного тока для перемещения якоря.
Нелинейность люфта
Еще одна важная нелинейность, часто встречающаяся в физических системах, — это гистерезис в механических передачах, таких как зубчатые передачи и соединения. Этот тип нелинейности несколько отличается от магнитного гистерезиса и обычно называется нелинейностями люфта. Люфт, фактически, представляет собой зазор между зубьями ведущей и ведомой шестерен. Рассмотрим коробку передач, как показано на рисунке (a), имеющую люфт, как показано на рисунке (b).
Рис. (b) показывает зуб A ведомой шестерни, расположенный между зубьями B1, B2 ведомой шестерни. Рис. (c) показывает взаимосвязь между входными и выходными движениями. Когда зуб A вращается по часовой стрелке от этого положения, выходное движение не происходит до тех пор, пока зуб A не установит контакт с зубом B1 ведомой шестерни после прохождения расстояния x/2. Это выходное движение соответствует сегменту mn на рис. (c). После установления контакта ведомая шестерня вращается против часовой стрелки на тот же угол, что и ведущая шестерня, если предположить, что передаточное число равно единице. Это показано сегментом no. Когда направление входного движения меняется, контакт между зубьями A и B1 теряется, и ведомая шестерня немедленно останавливается, исходя из предположения, что нагрузка контролируется трением с незначительным инерционным моментом.
Следовательно, выходное движение продолжается, пока зуб A не пройдет расстояние x в обратном направлении, как показано на рис. (c) сегментом op. После того, как зуб A установит контакт с зубом B
