ฟังก์ชันบรรยาย: การวิเคราะห์ระบบไม่เชิงเส้น

ฟังก์ชันบรรยาย เป็นวิธีการประมาณเพื่อวิเคราะห์ปัญหาควบคุมที่ไม่เป็นเชิงเส้นบางอย่างในวิศวกรรมควบคุม เพื่อเริ่มต้น ให้เราทบทวนนิยามพื้นฐานของระบบควบคุมเชิงเส้นก่อน ระบบควบคุมเชิงเส้นคือระบบที่หลักการซ้อนทับ (หากมีการนำเข้าสองสัญญาณพร้อมกัน ผลลัพธ์จะเป็นผลบวกของสองสัญญาณ) สามารถใช้ได้ ในกรณีของระบบควบคุมที่ไม่เป็นเชิงเส้นมาก เราไม่สามารถใช้หลักการซ้อนทับได้

การวิเคราะห์ระบบควบคุมที่ไม่เป็นเชิงเส้นต่างๆ ยากเนื่องจากพฤติกรรมที่ไม่เป็นเชิงเส้น เราไม่สามารถใช้วิธีการวิเคราะห์แบบดั้งเดิม เช่นเกณฑ์ความเสถียรของนัยส์ตรอม หรือวิธีโพล-เซโร่ เพื่อวิเคราะห์ระบบเหล่านี้ เนื่องจากวิธีเหล่านี้จำกัดเฉพาะระบบเชิงเส้นเท่านั้น อย่างไรก็ตาม มีข้อดีบางประการของระบบไม่เป็นเชิงเส้น:

1. ระบบไม่เป็นเชิงเส้นสามารถทำงานได้ดีกว่าระบบเชิงเส้น

2. ระบบไม่เป็นเชิงเส้นมีค่าใช้จ่ายน้อยกว่าระบบเชิงเส้น

3. โดยทั่วไปแล้วระบบไม่เป็นเชิงเส้นมีขนาดเล็กและกะทัดรัดกว่าระบบเชิงเส้น

ในทางปฏิบัติ ระบบทางกายภาพทุกระบบมีความไม่เป็นเชิงเส้นอยู่บ้าง บางครั้งอาจจำเป็นต้องสร้างความไม่เป็นเชิงเส้นขึ้นมาเพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพของระบบหรือทำให้การทำงานปลอดภัยขึ้น ผลลัพธ์คือระบบมีค่าใช้จ่ายน้อยกว่าระบบเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของระบบที่มีความไม่เป็นเชิงเส้นที่สร้างขึ้นอย่างเจตนาคือระบบควบคุมด้วยรีเลย์หรือระบบ ON/OFF ตัวอย่างเช่น ในระบบทำความร้อนในบ้านทั่วไป หม้อน้ำจะเปิดเมื่ออุณหภูมิต่ำกว่าค่าที่กำหนดและปิดเมื่ออุณหภูมิสูงกว่าค่าที่กำหนด ในที่นี้เราจะหาระบบวิเคราะห์หรือวิธีการวิเคราะห์ระบบไม่เป็นเชิงเส้นสองวิธี วิธีการทั้งสองได้แก่:

1. วิธีฟังก์ชันบรรยาย ในระบบควบคุม

2. วิธีระนาบเฟสในระบบควบคุม

ความไม่เป็นเชิงเส้นทั่วไป

ในประเภทของระบบควบคุมส่วนใหญ่ เราไม่สามารถหลีกเลี่ยงความไม่เป็นเชิงเส้นบางประเภทได้ ความไม่เป็นเชิงเส้นเหล่านี้สามารถแบ่งออกเป็นสถิตหรือไดนามิก ระบบที่มีความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตที่ไม่เป็นเชิงเส้นและไม่รวมสมการอนุพันธ์เรียกว่าความไม่เป็นเชิงเส้นสถิต ในทางกลับกัน อินพุตและเอาต์พุตอาจมีความสัมพันธ์ผ่านสมการอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น ระบบดังกล่าวเรียกว่าความไม่เป็นเชิงเส้นไดนามิก
ตอนนี้เราจะหาระบบต่างๆ ของความไม่เป็นเชิงเส้นในระบบควบคุม

1. ความไม่เป็นเชิงเส้นจากการอิ่มตัว

2. ความไม่เป็นเชิงเส้นจากการเสียดสี

3. ความไม่เป็นเชิงเส้นจากโซนตาย

4. ความไม่เป็นเชิงเส้นจากการควบคุมรีเลย์ (ตัวควบคุม ON OFF)

5. ความไม่เป็นเชิงเส้นจากการย้อนกลับ

ความไม่เป็นเชิงเส้นจากการอิ่มตัว

ความไม่เป็นเชิงเส้นจากการอิ่มตัวเป็นความไม่เป็นเชิงเส้นที่พบบ่อย ตัวอย่างเช่น การอิ่มตัวในเส้นโค้งแม่เหล็กของมอเตอร์กระแสตรง เพื่อเข้าใจความไม่เป็นเชิงเส้นนี้ ลองดูที่เส้นโค้งอิ่มตัวหรือเส้นโค้งแม่เหล็กด้านล่าง:

จากเส้นโค้งด้านบน เราเห็นว่าเอาต์พุตแสดงพฤติกรรมเชิงเส้นในตอนแรก แต่หลังจากนั้นมีการอิ่มตัวในเส้นโค้ง ซึ่งเป็นความไม่เป็นเชิงเส้นในระบบ เราได้แสดงเส้นโค้งประมาณไว้ด้วย
เราสามารถเห็นความไม่เป็นเชิงเส้นจากการอิ่มตัวที่คล้ายคลึงกันในแอมพลิไฟเออร์ ซึ่งเอาต์พุตเป็นสัดส่วนกับอินพุตเพียงช่วงค่าของอินพุตที่จำกัด เมื่ออินพุตเกินช่วงนี้ เอาต์พุตจะกลายเป็นไม่เป็นเชิงเส้น

ความไม่เป็นเชิงเส้นจากการเสียดสี

อะไรก็ตามที่ขัดขวางการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของวัตถุเรียกว่าการเสียดสี เป็นความไม่เป็นเชิงเส้นที่ปรากฏในระบบ ตัวอย่างทั่วไปในมอเตอร์ไฟฟ้า เราพบแรงเสียดทานคูลอมบ์จากการสัมผัสระหว่างแปรงและคอมมิวเตเตอร์

การเสียดสีอาจมีสามประเภท ดังนี้:

1. การเสียดสีสถิต : ในคำพูดง่ายๆ การเสียดสีสถิตกระทำบนวัตถุเมื่อวัตถุอยู่นิ่ง

2. การเสียดสีไดนามิก : การเสียดสีไดนามิกกระทำบนวัตถุเมื่อมีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ระหว่างผิวและวัตถุ

3. การเสียดสีจำกัด : หมายถึงค่าสูงสุดของการเสียดสีที่กระทำบนวัตถุเมื่อวัตถุอยู่นิ่ง
   การเสียดสีไดนามิกสามารถแบ่งออกเป็น (a) การเสียดสีจากการเลื่อน (b) การเสียดสีจากการกลิ้ง การเสียดสีจากการเลื่อนเกิดขึ้นเมื่อวัตถุสองชิ้นเลื่อนผ่านกัน ในขณะที่การเสียดสีจากการกลิ้งเกิดขึ้นเมื่อวัตถุกลิ้งผ่านวัตถุอื่น
   ในระบบกลไก เราพบการเสียดสีสองประเภท คือ (a) การเสียดสีเหนียว (b) การเสียดสีสถิต

ความไม่เป็นเชิงเส้นจากโซนตาย

ความไม่เป็นเชิงเส้นจากโซนตายปรากฏในอุปกรณ์ไฟฟ้าหลายชนิด เช่น มอเตอร์มอเตอร์เซอร์โว DC แอคทูเอเตอร์ ฯลฯ ความไม่เป็นเชิงเส้นจากโซนตายหมายถึงสภาพที่เอาต์พุตกลายเป็นศูนย์เมื่ออินพุตเกินค่าจำกัดที่กำหนด

ความไม่เป็นเชิงเส้นจากรีเลย์ (ตัวควบคุม ON/OFF)

รีเลย์อิเล็กโทรกลาศาสตร์ถูกใช้บ่อยในระบบควบคุมที่ต้องการสัญญาณควบคุมที่มีเพียงสองหรือสามสถานะ นี่เรียกว่าตัวควบคุม ON/OFF หรือตัวควบคุมสองสถานะ

ความไม่เป็นเชิงเส้นจากรีเลย์ (a) ON/OFF (b) ON/OFF พร้อมเฮสเตอริซิส (c) ON/OFF พร้อมโซนตาย รูป (a) แสดงคุณลักษณะที่เหมาะสำหรับรีเลย์ทั้งสองทิศทาง ในทางปฏิบัติ รีเลย์จะไม่ตอบสนองทันที สำหรับกระแสอินพุตระหว่างสองจุดสลับ รีเลย์อาจอยู่ในตำแหน่งหนึ่งหรืออีกตำแหน่งหนึ่งขึ้นอยู่กับประวัติของอินพุตที่ผ่านมา คุณลักษณะนี้เรียกว่า ON/OFF พร้อมเฮสเตอริซิส แสดงในรูป (b) รีเลย์ยังมีโซนตายที่แน่นอนในทางปฏิบัติ แสดงในรูป (c) โซนตายเกิดจากความจริงที่ว่าสนามแม่เหล็กของรีเลย์ต้องการกระแสที่จำกัดเพื่อเคลื่อนย้ายอาร์เมเจอร์

ความไม่เป็นเชิงเส้นจากการย้อนกลับ

ความไม่เป็นเชิงเส้นที่สำคัญที่พบบ่อยในระบบทางกายภาพคือเฮสเตอริซิสในระบบส่งกำลังเชิงกล เช่น เกียร์และลิ้นชัก ความไม่เป็นเชิงเส้นนี้แตกต่างจากเฮสเตอริซิสแม่เหล็กและเรียกว่าความไม่เป็นเชิงเส้นจากการย้อนกลับ ความไม่เป็นเชิงเส้นจากการย้อนกลับคือการเลื่อนระหว่างฟันของเกียร์ขับและฟันของเกียร์ถูกขับ ดูกล่องเกียร์ด้านล่าง (a) ที่มีความไม่เป็นเชิงเส้นจากการย้อนกลับแสดงในรูป (b)

รูป (b) แสดงฟัน A ของเกียร์ถูกขับอยู่ระหว่างฟัน B1, B2 ของเกียร์ถูกขับ รูป (c) แสดงความสัมพันธ์ระหว่างการเคลื่อนที่ของอินพุตและเอาต์พุต เมื่อฟัน A ถูกขับเคลื่อน