Pagsasalarawan ng Function: Analisis ng mga System na Hindi Linear
Ang describing function ay isang pamamaraan na nagbibigay ng hango para sa pag-aaral ng ilang mga hindi linear na kontrol na problema sa control engineering. Para simulan, tandaan muna natin ang pangunahing definisyon ng isang linear na kontrol na sistema. Ang mga linear na kontrol na sistema ay yung kung saan ang principle of superposition (kung ang dalawang input ay inilapat nang sabay-sabay, ang output ay magiging sum ng dalawang output) ay applicable. Sa kaso ng mga highly nonlinear na kontrol na sistema, hindi natin maaaring i-apply ang principle of superposition.
Ang pag-aaral ng iba't ibang hindi linear na kontrol na sistema ay napakahirap dahil sa kanilang hindi linear na pag-uugali. Hindi natin maaaring gamitin ang mga konbensiyonal na pamamaraan tulad ng Nyquist stability criterion o pole-zero method upang analisin ang mga hindi linear na sistemang ito, sapagkat ang mga pamamaraang ito ay limitado sa mga linear na sistema. Gayunpaman, may ilang mga benepisyo ang mga non-linear na sistema:
Ang mga hindi linear na sistema ay maaaring mas mabuti pa kaysa sa mga linear na sistema.
Ang mga hindi linear na sistema ay mas murang gastos kaysa sa mga linear na sistema.
Mas maliit at kompakto ang laki nito kumpara sa mga linear na sistema.
Sa praktika, lahat ng pisikal na sistema ay may isang uri ng hindi linearidad. Minsan, maaari pa ring makabuti ang pagsasama ng isang hindi linearidad nang malayon upang mapabuti ang performance ng isang sistema o gawing mas ligtas ang operasyon nito. Bilang resulta, ang sistema ay mas ekonomiko kaysa sa linear na sistema.
Isa sa pinakamadaling halimbawa ng isang sistema na may intensionally na idinagdag na hindi linearidad ay ang isang relay controlled o ON/OFF system. Halimbawa, sa isang typical na home heating system, ang furnace ay inililipat sa ON kapag ang temperatura ay bumaba sa isang tiyak na halaga at OFF kapag ang temperatura ay lumampas sa isa pang ibinigay na halaga. Dito, sasabihin natin ang dalawang iba't ibang uri ng pag-aanalisa o pamamaraan para sa pag-aanalisa ng mga hindi linear na sistema. Ang dalawang pamamaraan ay isinulat sa ibaba at maikling ipinaliwanag sa tulong ng isang halimbawa.
Describing function method sa control system
Phase plane method sa control system
Common Non Linearities
Sa karamihan ng types of control systems, hindi natin maaaring iwasan ang presensya ng ilang uri ng non-linearities. Ito ay maaaring ikategorya bilang static o dynamic. Ang isang sistema kung saan may hindi linear na relasyon sa pagitan ng input at output, na hindi kasama ang differential equation ay tinatawag na static nonlinearity. Sa kabilang banda, ang input at output ay maaaring may relasyon sa pamamagitan ng isang nonlinear differential equation. Ang ganitong sistema ay tinatawag na dynamic nonlinearity.
Ngayon, sasabihin natin ang iba't ibang uri ng non-linearities sa isang control system:
Saturation nonlinearity
Friction nonlinearity
Dead zone nonlinearity
Relay nonlinearity (ON OFF controller)
Backlash nonlinearity
Saturation Nonlinearity
Ang saturation nonlinearity ay isang karaniwang uri ng nonlinearity. Halimbawa, makikita natin ang nonlinearity na ito sa saturation sa magnetizing curve ng DC motor. Upang maintindihan ang uri ng nonlinearity na ito, ipaglaban natin ang saturation curve o magnetizing curve na ibinigay sa ibaba:
Mula sa itaas na kurba, makikita natin na ang output ay nagpapakita ng linear na pag-uugali sa simula, ngunit pagkatapos noon, may saturation sa kurba na isang uri ng non linearity sa sistema. Ipinapakita namin din ang approximated curve.
Ang parehong uri ng saturation non linearity ay maaari rin nating makita sa isang amplifier kung saan ang output ay proporsyunado sa input lamang para sa limitadong saklaw ng mga halaga ng input. Kapag ang input ay lumampas sa saklaw na ito, ang output ay naging non linear.
Friction Nonlinearity
Anuman na laban sa relatibong galaw ng katawan ay tinatawag na friction. Ito ay isang uri ng non linearity na naroroon sa sistema. Ang karaniwang halimbawa nito ay sa isang electric motor kung saan makikita ang coulomb friction drag dahil sa rubbing contact sa pagitan ng brushes at commutator.
Ang friction ay maaaring magkamukha ng tatlong uri at sila ay isinulat sa ibaba:
Static Friction : Sa simple words, ang static friction ay gumagana sa katawan kapag ang katawan ay nasa rest.
Dynamic Friction : Ang dynamic friction ay gumagana sa katawan kapag may relatibong galaw sa pagitan ng surface at katawan.
Limiting Friction : Ito ay inilalarawan bilang ang maximum value ng limiting friction na gumagana sa katawan kapag ito ay nasa rest.
Ang dynamic friction ay maaari ring ikategorya bilang (a) Sliding friction (b) Rolling friction. Ang sliding friction ay gumagana kapag ang dalawang katawan ay nag-slide sa bawat isa habang ang rolling ay gumagana kapag ang mga katawan ay nag-roll sa ibang katawan.
Sa mechanical system, mayroon tayo dalawang uri ng friction na (a) Viscous friction (b) Static friction.
Dead Zone Nonlinearity
Ang dead zone nonlinearity ay ipinapakita sa iba't ibang electrical devices tulad ng motors, DC servo motors, actuators, atbp. Dead zone non linearities ay tumutukoy sa isang kondisyon kung saan ang output ay naging zero kapag ang input ay lumampas sa isang limitadong halaga.
Relays Nonlinearity (ON/OFF Controller)
Ang electromechanical relays ay madalas na ginagamit sa mga control systems kung saan ang control strategy ay nangangailangan ng isang control signal na may dalawa o tatlong states. Ito rin ay tinatawag na ON/OFF controller o two state controller.
Relay Non-Linearity (a) ON/OFF (b) ON/OFF with Hysteresis (c) ON/OFF with Dead Zone. Fig (a) shows the ideal characteristics of a bidirectional relay. In practice, relay will not respond instantaneously. For input currents between the two switching instants, the relay may be in one position or other depending upon the previous history of the input. This characteristic is called ON/OFF with hysteresis that shows in Fig (b). A relay also has a definite amount of dead zone in practice that show in Fig (c). The dead zone is caused by the fact that the relay field winding requires a finite amount of current to move the armature.
Backlash Nonlinearity
Ang isa pang mahalagang nonlinearity na karaniwang nangyayari sa physical system ay ang hysteresis sa mechanical transmissions tulad ng gear trains at linkages. Ang nonlinearity na ito ay medyo iba mula sa magnetic hysteresis at karaniwang tinatawag na backlash nonlinearities. Ang backlash sa katotohanan ay ang play sa pagitan ng mga teeth ng drive gear at ng driven gear. Isaalang-alang natin ang gearbox na ipinapakita sa ibaba (a) na may backlash na ipinapakita sa fig (b).
Fig (b) shows the teeth A of the driven gear located midway between the teeth B1, B2 of the driven gear. Fig (c) gives the relationship between input and output motions. As the teeth A is driven clockwise from this position, no output motion takes place until the tooth A makes contact with the tooth B1 of the driven gear after traveling a distance x/2. This output motion corresponds to the segment mn of fig (c). After the contact is made the driven gear rotates counterclockwise through the same angle as the drive gear if the gear ratio is assumed to be unity. This is illustrated by the line segment no. As the input motion is reversed, the contact between the teeth A and B1 is lost and the driven gear immediately becomes stationary based on the assumption that the load is friction controlled with negligible inertia.
The output motion, therefore, causes till tooth A has traveled a distance x in the reverse direction as shown in fig (c) by the segment op. After the tooth A establishes contact with the tooth B2, the driven gear now mores in a clockwise direction as shown by segment pq. As the input motion is reversed the direction gear is again at standstill for the segment qr and then follows the drive gear along rn.
