توصیف تابع: تحلیل سیستم‌های غیرخطی
تابع توصیف یک روش تقریبی برای تحلیل برخی از مشکلات کنترل غیرخطی در مهندسی کنترل است. برای شروع، بیایید ابتدا تعریف اساسی سیستم کنترل خطی را یادآوری کنیم. سیستم‌های کنترل خطی آنهایی هستند که اصل جمع‌پذیری (اگر دو ورودی به طور همزمان اعمال شوند، خروجی مجموع دو خروجی خواهد بود) قابل اعمال است. در مورد سیستم‌های کنترل غیرخطی بالقوه، نمی‌توانیم اصل جمع‌پذیری را اعمال کنیم.
تحلیل سیستم‌های کنترل غیرخطی مختلف به دلیل رفتار غیرخطی آنها بسیار دشوار است. نمی‌توانیم از روش‌های تحلیلی معمول مانند معیار پایداری نایکوئیست یا روش صفر-قطب برای تحلیل این سیستم‌های غیرخطی استفاده کنیم، زیرا این روش‌ها به سیستم‌های خطی محدود شده‌اند. با این حال، مزایایی برای سیستم‌های غیرخطی وجود دارد:
سیستم‌های غیرخطی می‌توانند بهتر از سیستم‌های خطی عمل کنند.
سیستم‌های غیرخطی کمتر گران هستند نسبت به سیستم‌های خطی.
آنها معمولاً از نظر اندازه کوچک‌تر و فشرده‌تر از سیستم‌های خطی هستند.
در عمل، تمام سیستم‌های فیزیکی به نوعی غیرخطی هستند. گاهی اوقات حتی ممکن است برای بهبود عملکرد سیستم یا ایمن‌سازی عملیات آن، مطلوب باشد که غیرخطی بودن را به طور عمدی معرفی کنیم. در نتیجه، سیستم اقتصادی‌تر از سیستم خطی خواهد بود.
یکی از ساده‌ترین نمونه‌های سیستم با غیرخطی بودن معرفی شده، یک سیستم کنترل شده با رله یا ON/OFF است. به عنوان مثال، در یک سیستم گرمایش خانگی معمولی، گرمکن وقتی که دما زیر مقدار مشخصی برسد روشن می‌شود و وقتی که دما بیش از مقدار دیگری برسد خاموش می‌شود. در اینجا ما قرار است دو نوع تحلیل یا روش برای تحلیل سیستم‌های غیرخطی را بحث کنیم. دو روش زیر نوشته شده و با کمک یک مثال به طور خلاصه مورد بحث قرار گرفته‌اند.
روش تابع توصیف در سیستم کنترل
روش صفحه فاز در سیستم کنترل
غیرخطی‌های معمولی
در اغلب نوع‌های سیستم‌های کنترل، نمی‌توانیم حضور برخی از انواع غیرخطی‌ها را اجتناب کنیم. این‌ها می‌توانند به عنوان غیرخطی‌های استاتیک یا دینامیک طبقه‌بندی شوند. یک سیستم که در آن رابطه غیرخطی بین ورودی و خروجی وجود دارد و شامل یک معادله دیفرانسیل نمی‌شود، غیرخطی استاتیک نامیده می‌شود. از طرف دیگر، ورودی و خروجی ممکن است از طریق یک معادله دیفرانسیل غیرخطی مرتبط باشند. چنین سیستمی غیرخطی دینامیک نامیده می‌شود.
حالا قرار است انواع مختلف غیرخطی‌ها در یک سیستم کنترل را بحث کنیم:
غیرخطی بودن اشباع
غیرخطی بودن اصطکاک
غیرخطی بودن منطقه مرده
غیرخطی بودن رله (کنترل‌کننده ON OFF)
غیرخطی بودن باکلاش
غیرخطی بودن اشباع
غیرخطی بودن اشباع یک نوع رایج از غیرخطی‌ها است. به عنوان مثال، این غیرخطی‌بودن را در منحنی مغناطیسی موتور DC می‌بینیم. برای درک این نوع غیرخطی‌بودن، بیایید منحنی اشباع یا منحنی مغناطیسی را که در زیر آمده است بحث کنیم:
از منحنی فوق می‌توان دید که خروجی در ابتدا رفتار خطی دارد اما بعد از آن یک اشباع در منحنی وجود دارد که یک نوع غیرخطی‌بودن در سیستم است. ما همچنین منحنی تقریبی را نشان داده‌ایم.
همچنین نوع مشابه غیرخطی بودن اشباع را در یک تقویت‌کننده می‌بینیم که خروجی تنها برای محدوده محدودی از مقادیر ورودی متناسب با ورودی است. وقتی که ورودی این محدوده را تجاوز می‌کند، خروجی تمایل به غیرخطی‌بودن دارد.
غیرخطی بودن اصطکاک
هر چیزی که حرکت نسبی بدن را مخالفت می‌کند، اصطکاک نامیده می‌شود. این نوعی غیرخطی‌بودن در سیستم است. مثال معمولی در یک موتور الکتریکی است که در آن اصطکاک کولومی به دلیل تماس لرزانه‌ای بین فرش‌ها و کموناتور وجود دارد.
اصطکاک می‌تواند سه نوع باشد و آنها در زیر ذکر شده‌اند:
اصطکاک استاتیک : به عبارت ساده، اصطکاک استاتیک بر بدن عمل می‌کند وقتی که بدن در حالت سکون است.
اصطکاک دینامیک : اصطکاک دینامیک بر بدن عمل می‌کند وقتی که حرکت نسبی بین سطح و بدن وجود دارد.
اصطکاک حدی : این اصطکاک به عنوان بیشترین مقدار اصطکاک حدی تعریف می‌شود که بر بدن عمل می‌کند وقتی که بدن در حالت سکون است.
اصطکاک دینامیک نیز می‌تواند به دو نوع (الف) اصطکاک لیزشی (ب) اصطکاک غلتان تقسیم شود. اصطکاک لیزشی زمانی عمل می‌کند که دو بدن روی هم لیز می‌کنند در حالی که اصطکاک غلتان زمانی عمل می‌کند که بدن‌ها روی بدن دیگری غلت می‌کنند.
در سیستم‌های مکانیکی دو نوع اصطکاک وجود دارد: (الف) اصطکاک چسبنده (ب) اصطکاک استاتیک.
غیرخطی بودن منطقه مرده
غیرخطی بودن منطقه مرده در انواع مختلف دستگاه‌های الکتریکی مانند موتورها، موتورهای سروی DC، اجراکننده‌ها و غیره مشاهده می‌شود. غیرخطی بودن منطقه مرده به شرایطی اشاره می‌کند که خروجی وقتی ورودی مقدار محدودی را تجاوز می‌کند صفر می‌شود.
غیرخطی بودن رله (کنترل‌کننده ON/OFF)
رله‌های الکترومکانیکی به طور معمول در سیستم‌های کنترلی استفاده می‌شوند که در آن استراتژی کنترلی نیاز به سیگنال کنترلی با فقط دو یا سه حالت دارد. این را همچنین کنترل‌کننده ON/OFF یا کنترل‌کننده دو حالتی می‌نامند.
غیرخطی بودن رله (الف) ON/OFF (ب) ON/OFF با هیستریس (ج) ON/OFF با منطقه مرده. شکل (الف) ویژگی‌های ایده‌آل یک رله دوطرفه را نشان می‌دهد. در عمل، رله به طور فوری واکنش نخواهد داد. برای جریان‌های ورودی بین دو لحظه تغییر وضعیت، رله ممکن است در یکی از دو وضعیت یا دیگر باشد بسته به تاریخچه قبلی ورودی. این ویژگی را ON/OFF با هیستریس می‌نامند که در شکل (ب) نشان داده شده است. رله همچنین در عمل یک مقدار مشخص از منطقه مرده دارد که در شکل (ج) نشان داده شده است. منطقه مرده به این دلیل ایجاد می‌شود که سیم‌پیچ میدان رله نیاز به مقدار محدودی از جریان برای حرکت آرماتور دارد.
غیرخطی بودن باکلاش
یکی دیگر از غیرخطی‌های مهم که معمولاً در سیستم‌های فیزیکی رخ می‌دهد، هیستریس در انتقالات
