Funktion beschreiben: Analyse nichtlinearer Systeme

Die beschreibende Funktion ist ein approximativer Verfahren zur Analyse bestimmter nichtlinearer Regelungsprobleme in der Regelungstechnik. Beginnen wir zunächst mit der Erinnerung an die grundlegende Definition eines linearen Regelungssystems. Lineare Regelungssysteme sind solche, bei denen das Superpositionsprinzip (wenn zwei Eingänge gleichzeitig angewendet werden, dann ist die Ausgabe die Summe der beiden Ausgaben) anwendbar ist. Im Falle hochgradig nichtlinearer Regelungssysteme können wir das Superpositionsprinzip nicht anwenden.

Die Analyse verschiedener nichtlinearer Regelungssysteme ist aufgrund ihres nichtlinearen Verhaltens sehr schwierig. Wir können herkömmliche Analysemethoden wie das Nyquist-Stabilitätskriterium oder die Pol-Nullstellen-Methode nicht verwenden, um diese nichtlinearen Systeme zu analysieren, da diese Methoden auf lineare Systeme beschränkt sind. Dennoch gibt es einige Vorteile von nichtlinearen Systemen:

1. Nichtlineare Systeme können besser als lineare Systeme leisten.

2. Nichtlineare Systeme sind weniger kostspielig als lineare Systeme.

3. Sie sind im Vergleich zu linearen Systemen in der Regel kleiner und kompakter.

In der Praxis haben alle physikalischen Systeme eine Form von Nichtlinearität. Manchmal kann es sogar wünschenswert sein, eine Nichtlinearität absichtlich einzuführen, um die Leistung eines Systems zu verbessern oder seinen Betrieb sicherer zu gestalten. Das Ergebnis ist, dass das System wirtschaftlicher als ein lineares System ist.

Eines der einfachsten Beispiele für ein System mit einer absichtlich eingeführten Nichtlinearität ist ein relaisgesteuertes oder ON/OFF-System. So wird zum Beispiel in einem typischen Heizsystem zu Hause die Heizung eingeschaltet, wenn die Temperatur unter einen bestimmten vorgegebenen Wert fällt, und ausgeschaltet, wenn die Temperatur einen anderen gegebenen Wert überschreitet. Hier werden wir zwei verschiedene Arten der Analyse oder Methode zur Analyse nichtlinearer Systeme diskutieren. Die beiden Methoden sind unten aufgeführt und kurz mit Hilfe eines Beispiels erläutert.

1. Beschreibende Funktion Methode in der Regelungstechnik

2. Phasenraum-Methode in der Regelungstechnik

Häufige Nichtlinearitäten

In den meisten Arten von Regelungssystemen können wir die Anwesenheit bestimmter Arten von Nichtlinearitäten nicht vermeiden. Diese können als statisch oder dynamisch klassifiziert werden. Ein System, bei dem zwischen Eingang und Ausgang eine nichtlineare Beziehung besteht, die keine Differentialgleichung beinhaltet, wird als statische Nichtlinearität bezeichnet. Andererseits kann der Eingang und die Ausgabe durch eine nichtlineare Differentialgleichung verbunden sein. Solch ein System wird als dynamische Nichtlinearität bezeichnet.
Jetzt werden wir verschiedene Arten von Nichtlinearitäten in einem Regelungssystem diskutieren:

1. Sättigungs-Nichtlinearität

2. Reibungs-Nichtlinearität

3. Totzonen-Nichtlinearität

4. Relais-Nichtlinearität (ON-OFF-Regler)

5. Rückspiel-Nichtlinearität

Sättigungs-Nichtlinearität

Die Sättigungs-Nichtlinearität ist eine häufige Art von Nichtlinearität. Zum Beispiel sehen wir diese Nichtlinearität in der Sättigungskurve des Gleichstrommotors. Um diese Art von Nichtlinearität zu verstehen, diskutieren wir die Sättigungskurve oder Magnetisierungskurve, die unten dargestellt ist:

Aus der obigen Kurve können wir erkennen, dass die Ausgabe am Anfang ein lineares Verhalten zeigt, aber danach eine Sättigung in der Kurve auftritt, was eine Art von Nichtlinearität im System darstellt. Wir haben auch die approximierte Kurve dargestellt.
Eine ähnliche Art von Sättigungs-Nichtlinearität können wir auch in einem Verstärker sehen, bei dem die Ausgabe nur für einen begrenzten Bereich von Eingabewerten proportional zur Eingabe ist. Wenn die Eingabe diesen Bereich überschreitet, neigt die Ausgabe dazu, nichtlinear zu werden.

Reibungs-Nichtlinearität

Alles, was sich dem relativen Bewegung eines Körpers entgegenstellt, wird als Reibung bezeichnet. Es ist eine Art von Nichtlinearität, die im System vorhanden ist. Ein gängiges Beispiel dafür ist ein Elektromotor, in dem wir Coulomb-Reibung aufgrund des reibenden Kontakts zwischen den Bürsten und dem Kommutator finden.

Es gibt drei Arten von Reibung, die unten aufgelistet sind:

1. Statische Reibung : Mit anderen Worten, die statische Reibung wirkt auf den Körper, wenn dieser ruht.

2. Dynamische Reibung : Die dynamische Reibung wirkt auf den Körper, wenn es eine relative Bewegung zwischen der Oberfläche und dem Körper gibt.

3. Grenzreibung : Sie wird definiert als der maximale Wert der Grenzreibung, die auf den Körper wirkt, wenn er ruht.
   Dynamische Reibung kann auch in (a) Gleitreibung (b) Rollreibung unterteilt werden. Gleitreibung tritt auf, wenn zwei Körper über einander gleiten, während Rollreibung auftritt, wenn die Körper über einen anderen Körper rollen.
   In mechanischen Systemen gibt es zwei Arten von Reibung, nämlich (a) viskose Reibung (b) statische Reibung.

Totzonen-Nichtlinearität

Die Totzonen-Nichtlinearität tritt in verschiedenen elektrischen Geräten wie Motoren, Gleichstrom-Servomotoren, Aktuatoren usw. auf. Totzonen-Nichtlinearitäten beziehen sich auf eine Bedingung, bei der die Ausgabe null wird, wenn die Eingabe einen bestimmten Grenzwert überschreitet.

Relais-Nichtlinearität (ON/OFF-Regler)

Elektromechanische Relais werden häufig in Regelungssystemen verwendet, bei denen die Regelstrategie ein Steuersignal mit nur zwei oder drei Zuständen erfordert. Dies wird auch als ON/OFF-Regler oder Zweizustandsregler bezeichnet.

Relais-Nichtlinearität (a) ON/OFF (b) ON/OFF mit Hysterese (c) ON/OFF mit Totzone. Abbildung (a) zeigt die ideale Charakteristik eines bidirektionalen Relais. In der Praxis reagiert das Relais nicht sofort. Für Eingangsströme zwischen den beiden Schaltzeitpunkten kann das Relais in einer Position oder der anderen sein, abhängig von der vorherigen Geschichte der Eingabe. Diese Charakteristik wird als ON/OFF mit Hysterese bezeichnet, die in Abbildung (b) dargestellt ist. Ein Relais hat in der Praxis auch eine bestimmte Menge an Totzone, die in Abbildung (c) dargestellt ist. Die Totzone wird dadurch verursacht, dass die Feldwicklung des Relais einen endlichen Strom benötigt, um den Armaturenbügel zu bewegen.

Rückspiel-Nichtlinearität

Eine weitere wichtige Nichtlinearität, die häufig in physikalischen Systemen auftritt, ist die Hysterese in mechanischen Übertragungen wie Getriebe und Gelenken. Diese Nichtlinearität unterscheidet sich etwas von der magnetischen Hysterese und wird oft als Rückspiel-Nichtlinearität bezeichnet. Rückspiel ist in der Tat der Spielraum zwischen den Zähnen des Antriebsgetriebes und denen des Angetriebenen. Betrachten wir ein Getriebe, wie in der untenstehenden Abbildung (a) dargestellt, mit Rückspiel, wie in Abbildung (b) illustriert.

Abbildung (b) zeigt die Zahn A des Angetriebenen, der sich genau zwischen den Zähnen B1, B2 des Angetriebenen befindet. Abbildung (c) zeigt das Verhältnis zwischen Eingangs- und Ausgangsbewegungen. Wenn der Zahn A im Uhrzeigersinn von dieser Position angetrieben wird, findet keine Ausgangsbewegung statt, bis der Zahn A Kontakt mit dem Zahn B1 des Angetriebenen nach dem Durchlaufen einer Distanz x/2 macht. Diese Ausgangsbewegung entspricht dem Segment mn in Abbildung (c). Nachdem der Kontakt hergestellt wurde, rotiert das Angetriebene gegen den Uhrzeigersinn um denselben Winkel wie das Antriebsgetriebe, wenn das Übersetzungsverhältnis als eins angenommen wird. Dies wird durch das Liniensegment no illustriert. Wenn die Eingangsbewegung umgekehrt wird, geht der Kontakt zwischen den Zähnen A und B1 verloren und das Angetriebene bleibt sofort still, basierend auf der Annahme, dass die Last durch Reibung kontrolliert wird und die Trägheit vernachlässigbar klein ist.
Die Ausgangsbewegung führt also weiter, bis der Zahn A eine Distanz x in umgekehrter Richtung zurückgelegt hat, wie in Abbildung (c) durch das Segment op gezeigt. Nachdem der Zahn A Kontakt mit dem Zahn B