Funksjonsbeskrivelse: Analyse av ikke-lineære systemer
Beskrivende funksjon er en tilnærmet metode for å analysere visse ikke-lineære kontrollproblemer i kontrollteknikk. La oss først minnes den grunnleggende definisjonen av et lineært kontrollsystem. Lineære kontrollsystemer er de der superposisjonsprinsippet (hvis to inndata anvendes samtidig, vil utdata være summen av de to utdataene) er gjeldende. I tilfelle sterkt ikke-lineære kontrollsystemer, kan vi ikke anvende superposisjonsprinsippet.
Analyse av ulike ikke-lineære kontrollsystemer er svært vanskelig på grunn av deres ikke-lineære oppførsel. Vi kan ikke bruke konvensjonelle analysemetoder som Nyquist-stabilitetskriteriet eller nullpunkt-polmetoden for å analysere disse ikke-lineære systemene, da disse metodene er begrenset til lineære systemer. Dette sagt, er det noen fordeler med ikke-lineære systemer:
Ikke-lineære systemer kan yte bedre enn lineære systemer.
Ikke-lineære systemer er billigere enn lineære systemer.
De er vanligvis mindre og kompaktere i størrelse sammenlignet med lineære systemer.
I praksis har alle fysiske systemer en form for ikke-linearitet. Noen ganger kan det endda være ønskelig å introdusere en ikke-linearitet bevisst for å forbedre ytelsen til et system eller gjøre dets drift tryggere. Som resultat blir systemet mer økonomisk enn et lineært system.
Et av de enkleste eksemplene på et system med en bevisst innført ikke-linearitet, er et reléstyrt eller ON/OFF-system. For eksempel, i et typisk hjemmevarmesystem, slås ovnen PÅ når temperaturen faller under en spesifikk verdi, og AV når temperaturen overstiger en annen gitt verdi. Her skal vi diskutere to forskjellige typer analyse eller metoder for å analysere ikke-lineære systemer. De to metodene er skrevet nedenfor og kort diskutert ved hjelp av et eksempel.
Beskrivende funksjon metode i kontrollsystem
Faseplanet metode i kontrollsystem
Vanlige ikke-lineariteter
I de fleste typer kontrollsystemer, kan vi ikke unngå tilstedeværelsen av visse typer ikke-lineariteter. Disse kan klassifiseres som statiske eller dynamiske. Et system der det er en ikke-lineær relasjon mellom inndata og utdata, som ikke involverer en differensialligning, kalles en statisk ikke-linearitet. På den andre siden, kan inndata og utdata være relatert gjennom en ikke-lineær differensialligning. Slik et system kalles en dynamisk ikke-linearitet.
Nå skal vi diskutere ulike typer ikke-lineariteter i et kontrollsystem:
Mettning ikke-linearitet
Friksjon ikke-linearitet
Dødson ikke-linearitet
Relé ikke-linearitet (ON OFF-kontroller)
Backlash ikke-linearitet
Mettning ikke-linearitet
Mettning ikke-linearitet er en vanlig type ikke-linearitet. Se for eksempel denne ikke-lineariteten i mettningen i magnetiseringskurven til DC-motor. For å forstå denne type ikke-linearitet, la oss diskutere mettningskurven eller magnetiseringskurven som er gitt nedenfor:
Fra kurven over kan vi se at utdata viser lineær oppførsel i begynnelsen, men etterpå er det en mettning i kurven som er en type ikke-linearitet i systemet. Vi har også vist en tilnærmet kurve.
Samme type mettning ikke-linearitet kan vi også se i en forsterker hvor utdata er proporsjonal med inndata bare for en begrenset rekke inndata. Når inndata overstiger dette området, neiger utdata mot ikke-linearitet.
Friksjon ikke-linearitet
Alt som motvirker relativ bevegelse av legemet, kalles friksjon. Det er en type ikke-linearitet som finnes i systemet. Et vanlig eksempel er i en elektrisk motor hvor vi finner coulomb-friksjonstrekk på grunn av friksjonell kontakt mellom pensler og kommutator.
Friksjon kan være av tre typer, og de er skrevet nedenfor:
Statisk friksjon : Med andre ord, statisk friksjon virker på legemet når legemet er i ro.
Dynamisk friksjon : Dynamisk friksjon virker på legemet når det er relativ bevegelse mellom overflaten og legemet.
Grensefriksjon : Denne defineres som maksimalverdien av grensefriksjon som virker på legemet når det er i ro.
Dynamisk friksjon kan også klassifiseres som (a) glidende friksjon (b) rullende friksjon. Glidende friksjon virker når to legemer glir over hverandre, mens rullende friksjon virker når legemer ruller over et annet legeme.
I mekaniske systemer har vi to typer friksjon, nemlig (a) viskøs friksjon (b) statisk friksjon.
Dødson ikke-linearitet
Dødson ikke-linearitet vises i ulike elektriske enheter som motorer, DC servo motorer, aktuatorer osv. Dødson ikke-lineariteter refererer til en situasjon der utdata blir null når inndata krysser en bestemt grenseverdi.
Relé ikke-linearitet (ON/OFF-kontroller)
Elektromekaniske reléer brukes ofte i kontrollsystemer der kontrollstrategien krever et kontrollsinal med bare to eller tre tilstander. Dette kalles også ON/OFF-kontroller eller totilstands-kontroller.
Relé ikke-linearitet (a) ON/OFF (b) ON/OFF med hysteresis (c) ON/OFF med dødson. Figur (a) viser de ideelle egenskapene til et toveis relé. I praksis vil reléet ikke reagere umiddelbart. For strømmer mellom de to skiftende øyeblikkene, kan reléet være i en posisjon eller annen avhengig av tidligere historie av inndata. Denne egenskapen kalles ON/OFF med hysteresis som vises i figur (b). Et relé har også en definitiv mengde dødson i praksis som vises i figur (c). Dødsonen skyldes at reléets feltspole krever en endelig mengde strøm for å flytte armaturen.
Backlash ikke-linearitet
En annen viktig ikke-linearitet som ofte forekommer i fysiske systemer, er hysteresis i mekaniske overføringer som girsystemer og koblingsmekanismer. Denne ikke-lineariteten er litt annerledes enn magnetisk hysteresis og kalles vanligvis backlash ikke-lineariteter. Backlash er faktisk spillet mellom tennene på drivgir og de på driven gir. Se en girboks som vist i figur (a) nedenfor, med backlash som illustrert i figur (b).
Figur (b) viser tann A på driven gir midt mellom tennene B1, B2 på driven gir. Figur (c) gir forholdet mellom inndata- og utdatamotstand. Når tann A drives mot klokken fra denne posisjonen, forekommer ingen utdatamotstand før tann A kommer i kontakt med tann B1 på driven gir etter å ha reist en distanse x/2. Denne utdatamotstanden svarer til segmentet mn i figur (c). Etter at kontakten er etablert, roterer driven gir mot klokken gjennom samme vinkel som drivgir hvis girforholdet antas å være én. Dette er illustrert av linjesegmentet no. Når inndatamotstanden reverseres, mister kontakten mellom tennene A og B1 og driven gir blir umiddelbart stille basert på antagelsen at belastningen er friksjonskontrollert med forneklet inersia.
Utmatningsmotstanden følger derfor til tann A har reist en distanse x i motsatt retning som vist i figur (c) av segmentet op. Etter at tann A etablerer kontakt med tann B2, roterer driven gir nå mot klokken som vist av segmentet pq. Når inndatamotstanden reverseres, er girroten igjen stille for segmentet qr og følger deretter drivgir langs rn.
