توصیف عملکرد: تحلیل سیستم‌های غیرخطی
تابع توصیف یک روش تقریبی برای تحلیل برخی مسائل کنترل غیرخطی در مهندسی کنترل است. ابتدا، بیایید به تعریف اساسی سیستم کنترل خطی بازنگری کنیم. سیستم‌های کنترل خطی آن دسته از سیستم‌ها هستند که اصل جمع‌پذیری (اگر دو ورودی به طور همزمان اعمال شوند، خروجی حاصل جمع دو خروجی خواهد بود) قابل اعمال است. در مورد سیستم‌های کنترل غیرخطی بسیار پیچیده، نمی‌توانیم اصل جمع‌پذیری را اعمال کنیم.
تحلیل سیستم‌های کنترل غیرخطی مختلف به دلیل رفتار غیرخطی آنها بسیار دشوار است. نمی‌توانیم از روش‌های تحلیلی معمول مانند معیار پایداری نایکوئیست یا روش صفر-قطب برای تحلیل این سیستم‌های غیرخطی استفاده کنیم، زیرا این روش‌ها به سیستم‌های خطی محدود شده‌اند. با این حال، چند مزیت برای سیستم‌های غیرخطی وجود دارد:
سیستم‌های غیرخطی می‌توانند بهتر از سیستم‌های خطی عمل کنند.
سیستم‌های غیرخطی کم‌هزینه‌تر از سیستم‌های خطی هستند.
آنها معمولاً در مقایسه با سیستم‌های خطی کوچک‌تر و فشرده‌تر هستند.
در عمل، تمام سیستم‌های فیزیکی نوعی غیرخطی بودن دارند. گاهی اوقات حتی ممکن است برای بهبود عملکرد سیستم یا ایمن‌سازی عملکرد آن، مقصوداً غیرخطی بودنی را معرفی کنیم. در نتیجه، سیستم اقتصادی‌تر از سیستم خطی است.
یکی از ساده‌ترین نمونه‌های سیستم با غیرخطی بودن معرفی شده، سیستم کنترل شده توسط رله یا ON/OFF است. به عنوان مثال، در یک سیستم گرمایش خانگی معمولی، گرمکن وقتی که دما زیر مقدار مشخصی برسد روشن می‌شود و وقتی دما بیش از مقدار دیگری شود خاموش می‌شود. در اینجا ما قرار است دو نوع تحلیل یا روش برای تحلیل سیستم‌های غیرخطی را بحث کنیم. دو روش زیر ذکر شده و با کمک یک مثال خلاصه شده‌اند.
روش تابع توصیف در سیستم کنترل
روش صفحه فاز در سیستم کنترل
غیرخطی‌بودن‌های معمول
در اغلب نوع‌های سیستم‌های کنترل، نمی‌توانیم از حضور برخی انواع غیرخطی‌بودن‌ها پرهیز کنیم. این‌ها می‌توانند به عنوان ثابت یا پویا طبقه‌بندی شوند. سیستمی که رابطه غیرخطی بین ورودی و خروجی دارد و شامل یک معادله دیفرانسیل نیست، غیرخطی‌بودن ثابت نامیده می‌شود. از طرف دیگر، ورودی و خروجی ممکن است از طریق یک معادله دیفرانسیل غیرخطی مرتبط باشند. چنین سیستمی غیرخطی‌بودن پویا نامیده می‌شود.
حالا قرار است انواع مختلف غیرخطی‌بودن‌ها در سیستم کنترل را بحث کنیم:
غیرخطی‌بودن اشباع
غیرخطی‌بودن اصطکاک
غیرخطی‌بودن منطقه مرده
غیرخطی‌بودن رله (کنترل‌کننده ON OFF)
غیرخطی‌بودن بازگشت
غیرخطی‌بودن اشباع
غیرخطی‌بودن اشباع یک نوع رایج از غیرخطی‌بودن است. به عنوان مثال، این غیرخطی‌بودن را در منحنی اشباع در موتور DC می‌بینیم. برای درک این نوع غیرخطی‌بودن، بیایید منحنی اشباع یا منحنی مغناطیسی که در زیر آمده است را بحث کنیم:
از این منحنی می‌توانیم ببینیم که خروجی در ابتدا رفتار خطی دارد اما بعد از آن در منحنی اشباعی دارد که نوعی غیرخطی‌بودن در سیستم است. ما نیز منحنی تقریبی را نشان داده‌ایم.
همین نوع غیرخطی‌بودن اشباع را می‌توانیم در یک تقویت‌کننده ببینیم که خروجی تنها برای محدوده محدودی از مقادیر ورودی متناسب با ورودی است. وقتی ورودی این محدوده را تجاوز می‌کند، خروجی تمایل به غیرخطی شدن دارد.
غیرخطی‌بودن اصطکاک
هر چیزی که حرکت نسبی بدن را مخالفت می‌کند، اصطکاک نامیده می‌شود. این نوعی غیرخطی‌بودن در سیستم است. مثال معمولی در یک موتور الکتریکی است که در آن اصطکاک کولمبی به دلیل تماس لرزانده بین براش‌ها و کامیوتاتور وجود دارد.
اصطکاک ممکن است سه نوع داشته باشد و آنها در زیر آمده‌اند:
اصطکاک ثابت : به عبارت ساده، اصطکاک ثابت بر بدن اثر می‌گذارد وقتی بدن در حالت سکون است.
اصطکاک پویا : اصطکاک پویا بر بدن اثر می‌گذارد وقتی حرکت نسبی بین سطح و بدن وجود دارد.
اصطکاک حدی : این اصطکاک حدی بیشترین مقدار اصطکاکی است که بر بدن در حالت سکون اثر می‌گذارد.
اصطکاک پویا می‌تواند به دو نوع تقسیم شود: (الف) اصطکاک لیزشی (ب) اصطکاک غلتان. اصطکاک لیزشی زمانی اثر می‌گذارد که دو بدن بر روی هم لیز می‌خورند و اصطکاک غلتان زمانی که بدن‌ها بر روی یک بدن دیگر غلت می‌کنند.
در سیستم‌های مکانیکی دو نوع اصطکاک داریم: (الف) اصطکاک ویسکوز (ب) اصطکاک ثابت.
غیرخطی‌بودن منطقه مرده
غیرخطی‌بودن منطقه مرده در انواع مختلف دستگاه‌های الکتریکی مانند موتورها، موتورهای سروو DC، آکتشن‌ها و غیره مشاهده می‌شود. غیرخطی‌بودن‌های منطقه مرده به شرایطی اشاره می‌کنند که خروجی صفر می‌شود وقتی ورودی از مقدار محدودی عبور می‌کند.
غیرخطی‌بودن رله (کنترل‌کننده ON/OFF)
رله‌های الکترومکانیکی معمولاً در سیستم‌های کنترل استفاده می‌شوند که استراتژی کنترل نیاز به سیگنال کنترلی با فقط دو یا سه حالت دارد. این کنترل‌کننده ON/OFF یا کنترل‌کننده دو حالتی نیز نامیده می‌شود.
غیرخطی‌بودن رله (الف) ON/OFF (ب) ON/OFF با هویستریس (ج) ON/OFF با منطقه مرده. شکل (الف) مشخصه‌های ایده‌آل یک رله دوطرفه را نشان می‌دهد. در عمل، رله به طور فوری واکنش نمی‌دهد. برای جریان‌های ورودی بین دو لحظه تغییر وضعیت، رله ممکن است در یکی از دو وضعیت باشد بسته به سابقه قبلی ورودی. این مشخصه ON/OFF با هویستریس است که در شکل (ب) نشان داده شده است. رله همچنین در عمل یک مقدار معین از منطقه مرده دارد که در شکل (ج) نشان داده شده است. منطقه مرده به این دلیل ایجاد می‌شود که پیچک میدان رله نیاز به جریان محدودی برای حرکت آرماتور دارد.
غیرخطی‌بودن بازگشت
یکی دیگر از غیرخطی‌بودن‌های مهم که معمولاً در سیستم‌های فیزیکی رخ می‌دهد، هویستریس در انتقال‌های مکانیکی مانند گیربکس‌ها و اتصالات است. این غیرخطی‌بودن به نوعی متفاوت از هویستریس مغناطیسی است و معمولاً به عنوان غیرخطی‌بودن بازگشت شناخته می‌شود. بازگشت در واقع فاصله بین دندانه‌های گیربکس محرک و گیربکس محرک
