Opisovanje funkcije: Analiza nelinearnih sistemov

Opisna funkcija je približen postopek za analizo določenih nelinearnih kontrolnih problemov v kontrolni tehniki. Za začetek najprej ponovimo osnovno definicijo linearnega kontrolovnega sistema. Linearni kontrolovni sistemi so tisti, kjer je uporabna načelo superpozicije (če sta dva vhoda hkrati uporabljeni, potem bo izhod vsota dveh izhodov). V primeru visoko nelinearnih kontrovalnih sistemov ne moremo uporabiti načela superpozicije.

Analiza različnih nelinearnih kontrovalnih sistemov je zelo težka zaradi njihovega nelinearnega obnašanja. Ne moremo uporabiti konvencionalnih analitnih metod, kot so Nyquistov kriterij stabilnosti ali metoda polov in ničel, da bi analizirali te nelinearne sisteme, saj so te metode omejene na linearne sisteme. To pa pomeni, da obstajajo nekateri prednosti nelinearnih sistemov:

1. Nelinearni sistemi lahko delujejo bolje od linearnih sistemov.

2. Nelinearni sistemi so cenejši od linearnih sistemov.

3. Običajno so manjši in kompaktni glede na linearne sisteme.

V praksi imajo vsi fizični sistemi neko obliko nelinearnosti. Nekrat je celo želeno, da uvedemo nelinearnost namerno, da izboljšamo delovanje sistema ali ga naredimo varnejšim. Kot rezultat je sistem ekonomičnejši od linearnega sistema.

Eden najenostavnejših primerov sistema s namerno uvedeno nelinearnostjo je sistem z reléom ali ON/OFF sistem. Na primer, v tipičnem domačem grelnem sistemu se pečica vklopi, ko temperatura pada pod določeno vrednost, in izklopi, ko temperatura preseže drugo dano vrednost. Tukaj bomo razpravljali o dveh različnih vrstah analize ali metodi za analizo nelinearnih sistemov. Dve metodi sta navedeni spodaj in kratko razpravljeni s pomočjo primera.

1. Metoda opisne funkcije v kontrolnem sistemu

2. Fazni ravninski postopek v kontrolnem sistemu

Upravičene nelinearnosti

V večini vrst kontrolnih sistemov ne moremo izbežati prisotnosti določenih vrst nelinearnosti. Te se lahko razdelijo na statične ali dinamične. Sistem, za katerega obstaja nelinearna povezava med vhodom in izhodom, ki ne vključuje diferencialne enačbe, se imenuje statična nelinearnost. Na drugi strani lahko vhod in izhod povezujejo skozi nelinearno diferencialno enačbo. Tak sistem se imenuje dinamična nelinearnost.
Tedaj bomo razpravljali o različnih vrstah nelinearnosti v kontrolnem sistemu:

1. Nelinearnost nasitja

2. Trenjska nelinearnost

3. Nelinearnost mrtvega območja

4. Relé nelinearnost (ON OFF nadzornik)

5. Nelinearnost preskokov

Nelinearnost nasitja

Nelinearnost nasitja je pogosta vrsta nelinearnosti. Na primer, ta nelinearnost se pojavi v krivulji magnetizacije DC motorja. Da bi razumeli to vrsto nelinearnosti, razpravljajmo o krivulji nasitja ali magnetizacijski krivulji, ki je podana spodaj:

Iz zgornje krivulje vidimo, da izhod prikazuje linearno obnašanje na začetku, vendar kasneje pride do nasitja v krivulji, kar je ena vrsta nelinearnosti v sistemu. Prav tako smo prikazali aproksimirano krivuljo.
Ista vrsta nelinearnosti nasitja se tudi pojavlja v posiljevalniku, kjer je izhod sorazmeren z vhodom le za omejen obseg vrednosti vhoda. Ko vhod preseže ta obseg, izhod postane nelinearen.

Trenjska nelinearnost

Vse, kar nasprotuje relativnemu gibanju telesa, se imenuje trenje. Gre za vrsto nelinearnosti, ki se pojavlja v sistemu. Pogost primer je električni motor, kjer najdemo Coulombovo trenje zaradi dotika mešalcev in komutatorja.

Trenje lahko znaša tri vrste, ki so navedene spodaj:

1. Statično trenje : Enostavno rečeno, statično trenje deluje na telo, ko je telo v miru.

2. Dinamično trenje : Dinamično trenje deluje na telo, ko je med površino in telesom relativno gibanje.

3. Mejno trenje : To je definirano kot največja vrednost mejnega trenja, ki deluje na telo, ko je to v miru.
   Dinamično trenje lahko tudi razdelimo na (a) klizno trenje (b) valjno trenje. Klizno trenje deluje, ko se dva telesa klizijo med seboj, medtem ko valjno trenje deluje, ko se telesa valjajo po drugem telesu.
   V mehanskih sistemih imamo dve vrsti trenja, in sicer (a) vizkozno trenje (b) statično trenje.

Nelinearnost mrtvega območja

Nelinearnost mrtvega območja se pojavlja v različnih električnih napravah, kot so motorji, DC servomotorji, aktuatorji itd. Nelinearnosti mrtvega območja se nanašajo na stanje, kjer izhod postane nič, ko vhod preseže določeno mejno vrednost.

Nelinearnost relé (ON/OFF nadzornik)

Elektromehanski relé se pogosto uporabljajo v kontrolnih sistemih, kjer strategija kontrole zahteva kontrolni signal z le dvema ali tremi stanji. To se imenuje tudi ON/OFF nadzornik ali nadzornik z dvema stanjema.

Nelinearnost relé (a) ON/OFF (b) ON/OFF z histerezom (c) ON/OFF z mrtvim območjem. Slika (a) prikazuje idealne značilnosti dvosmernega relé. V praksi relé ne bo odgovarjal takoj. Za vhodne tokove med dvema preklopoma relé lahko je v enem ali drugem položaju, odvisno od preteklega zgodovina vhoda. Ta značilnost se imenuje ON/OFF z histerezom, ki je prikazan na sliki (b). Relé ima tudi določeno količino mrtvega območja v praksi, ki je prikazan na sliki (c). Mrtvo območje je posledica dejstva, da relé potrebuje določen tok, da premakne armatur.

Nelinearnost preskokov

Druga pomembna nelinearnost, ki se pogosto pojavlja v fizičnih sistemih, je histerez v mehanskih prenosnih elementih, kot so kolonice in vezave. Ta nelinearnost je nekoliko drugačna od magnetnega histereza in se običajno imenuje nelinearnost preskokov. Preskok je v resnici igra med zobci pogonskega kolonca in zobci pogonskega kolonca. Oglejmo si kolonico, prikazano na sliki (a) z preskokom, kot je prikazano na sliki (b).

Slika (b) prikazuje zob A pogonskega kolonca, ki je postavljen med zobama B1, B2 pogonskega kolonca. Slika (c) prikazuje odnos med vhodnimi in izhodnimi gibanji. Ko je zob A vodil v smeri urinega kazalca od tega položaja, ne bo nobenega izhodnega gibanja, dokler zob A ne stori kontakt z zobom B1 pogonskega kolonca, po tem ko bo potekao razdaljo x/2. To izhodno gibanje ustreza segmentu mn na sliki (c). Po vzpostavitvi kontakta se pogonski kolonce rotira v smeri proti smeri urinog kazalca, če se privzame, da je razmerje prenosa enako 1. To je prikazano s premikom no. Ko se obrne vhodno gibanje, izgubi se kontakt med zobom A in zobom B