Fonction de description : Analyse des systèmes non linéaires
La fonction de description est une procédure approximative pour analyser certains problèmes de contrôle non linéaires en génie de contrôle. Pour commencer, rappelons la définition de base d'un système de contrôle linéaire. Les systèmes de contrôle linéaires sont ceux où le principe de superposition (si deux entrées sont appliquées simultanément, alors la sortie sera la somme des deux sorties) est applicable. Dans le cas de systèmes de contrôle fortement non linéaires, nous ne pouvons pas appliquer le principe de superposition.
L'analyse de différents systèmes de contrôle non linéaires est très difficile en raison de leur comportement non linéaire. Nous ne pouvons pas utiliser les méthodes d'analyse conventionnelles telles que le critère de stabilité de Nyquist ou la méthode des pôles-zéros pour analyser ces systèmes non linéaires, car ces méthodes sont limitées aux systèmes linéaires. Cela dit, il y a quelques avantages aux systèmes non linéaires :
Les systèmes non linéaires peuvent fonctionner mieux que les systèmes linéaires.
Les systèmes non linéaires sont moins coûteux que les systèmes linéaires.
Ils sont généralement plus petits et compacts que les systèmes linéaires.
En pratique, tous les systèmes physiques présentent une certaine forme de non-linéarité. Parfois, il peut même être souhaitable d'introduire délibérément une non-linéarité afin d'améliorer les performances d'un système ou de rendre son fonctionnement plus sûr. En conséquence, le système est plus économique que le système linéaire.
Un des exemples les plus simples d'un système avec une non-linéarité introduite intentionnellement est un système à relais contrôlé ou ON/OFF. Par exemple, dans un système de chauffage domestique typique, un four est allumé lorsque la température tombe en dessous d'une certaine valeur spécifiée et s'éteint lorsque la température dépasse une autre valeur donnée. Ici, nous allons discuter de deux types d'analyse ou de méthodes pour analyser les systèmes non linéaires. Les deux méthodes sont écrites ci-dessous et brièvement discutées à l'aide d'un exemple.
Méthode de la fonction de description dans le système de contrôle
Méthode du plan de phase dans le système de contrôle
Non-linéarités courantes
Dans la plupart des types de systèmes de contrôle, nous ne pouvons pas éviter la présence de certains types de non-linéarités. Ces dernières peuvent être classées comme statiques ou dynamiques. Un système pour lequel il existe une relation non linéaire entre l'entrée et la sortie, qui n'implique pas une équation différentielle, est appelé une non-linéarité statique. D'autre part, l'entrée et la sortie peuvent être liées par une équation différentielle non linéaire. Un tel système est appelé une non-linéarité dynamique.
Maintenant, nous allons discuter des différents types de non-linéarités dans un système de contrôle:
Non-linéarité de saturation
Non-linéarité de frottement
Non-linéarité de zone morte
Non-linéarité de relais (contrôleur ON/OFF)
Non-linéarité de backlash
Non-linéarité de saturation
La non-linéarité de saturation est un type courant de non-linéarité. Par exemple, on observe cette non-linéarité dans la saturation de la courbe de magnétisation d'un moteur DC. Afin de comprendre ce type de non-linéarité, examinons la courbe de saturation ou de magnétisation qui est donnée ci-dessous:
D'après la courbe ci-dessus, on peut voir que la sortie montre un comportement linéaire au début, mais après cela, il y a une saturation dans la courbe qui est une sorte de non-linéarité dans le système. Nous avons également montré la courbe approximative.
Le même type de non-linéarité de saturation peut également être observé dans un amplificateur pour lequel la sortie est proportionnelle à l'entrée uniquement pour une plage limitée de valeurs d'entrée. Lorsque l'entrée dépasse cette plage, la sortie tend à devenir non linéaire.
Non-linéarité de frottement
Tout ce qui s'oppose au mouvement relatif d'un corps est appelé frottement. C'est une sorte de non-linéarité présente dans le système. L'exemple courant est un moteur électrique dans lequel on trouve un frottement de Coulomb dû au contact de frottement entre les balais et le collecteur.
Le frottement peut être de trois types, écrits ci-dessous:
Frottement statique : En termes simples, le frottement statique agit sur le corps lorsque celui-ci est au repos.
Frottement dynamique : Le frottement dynamique agit sur le corps lorsqu'il y a un mouvement relatif entre la surface et le corps.
Frottement limite : Il est défini comme la valeur maximale du frottement limite qui agit sur le corps lorsqu'il est au repos.
Le frottement dynamique peut également être classé en (a) frottement de glissement (b) frottement de roulement. Le frottement de glissement agit lorsque deux corps glissent l'un sur l'autre, tandis que le frottement de roulement agit lorsque les corps roulent l'un sur l'autre.
Dans les systèmes mécaniques, nous avons deux types de frottement, à savoir (a) frottement visqueux (b) frottement statique.
Non-linéarité de zone morte
La non-linéarité de zone morte est visible dans divers dispositifs électriques tels que les moteurs, les moteurs servo DC, les actionneurs, etc. Les non-linéarités de zone morte font référence à une condition dans laquelle la sortie devient nulle lorsque l'entrée dépasse une certaine valeur limite.
Non-linéarité des relais (contrôleur ON/OFF)
Les relais électromécaniques sont fréquemment utilisés dans les systèmes de commande où la stratégie de commande nécessite un signal de commande avec seulement deux ou trois états. Ceci est également appelé contrôleur ON/OFF ou contrôleur à deux états.
Non-linéarité des relais (a) ON/OFF (b) ON/OFF avec hystérésis (c) ON/OFF avec zone morte. La figure (a) montre les caractéristiques idéales d'un relais bidirectionnel. En pratique, le relais ne répondra pas instantanément. Pour les courants d'entrée entre les deux instants de commutation, le relais peut être dans une position ou l'autre, selon l'historique précédent de l'entrée. Cette caractéristique est appelée ON/OFF avec hystérésis, qui est montrée dans la figure (b). Un relais a également une quantité définie de zone morte en pratique, qui est montrée dans la figure (c). La zone morte est causée par le fait que le bobinage du relais nécessite une quantité finie de courant pour déplacer l'armature.
Non-linéarité de backlash
Une autre non-linéarité importante se produisant couramment dans les systèmes physiques est l'hystérésis dans les transmissions mécaniques telles que les trains d'engrenages et les liaisons. Cette non-linéarité est quelque peu différente de l'hystérésis magnétique et est communément appelée non-linéarités de backlash. Le backlash est en fait le jeu entre les dents de l'engrenage entraînant et celles de l'engrenage entraîné. Considérons une boîte de vitesses comme illustrée dans la figure (a) ci-dessous, ayant un backlash comme illustré dans la figure (b).
La figure (b) montre les dents A de l'engrenage entraîné situées au milieu des dents B1, B2 de l'engrenage entraîné. La figure (c) donne la relation entre les mouvements d'entrée et de sortie. Lorsque les dents A sont entraînées dans le sens horaire à partir de cette position, aucun mouvement de sortie ne se produit jusqu'à ce que la dent A entre en contact avec la dent B1 de l'engrenage entraîné après avoir parcouru une distance x/2. Ce mouvement de sortie correspond au segment mn de la figure (c). Après le contact, l'engrenage entraîné tourne dans le sens antihoraire à travers le même angle que l'engrenage entraînant si le rapport de réduction est supposé être égal à l'unité. Cela est illustré par le segment no. Lorsque le mouvement d'entrée est inversé, le contact entre les dents A et B1 est perdu et l'engrenage entraîné devient immédiatement stationnaire, en supposant que la charge est contrôlée par le frottement avec une inertie négligeable.
Le mouvement de sortie, donc, continue jusqu'à ce que la dent A ait parcouru une distance x en sens inverse, comme montré dans
