وصف الدالة: تحليل الأنظمة اللاخطية

الدالة الوصفية هي إجراء تقريبي لتحليل بعض مشاكل التحكم غير الخطية في هندسة التحكم. لنبدأ أولاً بتذكيرنا بالتعريف الأساسي لنظام التحكم الخطي. أنظمة التحكم الخطية هي تلك التي يمكن تطبيق مبدأ التراكب عليها (إذا تم تطبيق المدخلات بشكل متزامن، فستكون النتيجة هي مجموع النواتج). في حالة الأنظمة غير الخطية بشدة، لا يمكننا تطبيق مبدأ التراكب.

تحليل أنظمة التحكم المختلفة غير الخطية صعب للغاية بسبب سلوكها غير الخطي. لا يمكننا استخدام طرق التحليل التقليدية مثل معيار الاستقرار نايكيست أو طريقة القطب الصفر لتحليل هذه الأنظمة غير الخطية، حيث إن هذه الطرق مقتصرة على الأنظمة الخطية. ومع ذلك، هناك بعض المزايا لأنظمة غير الخطية:

1. يمكن لأنظمة غير الخطية أن تؤدي بشكل أفضل من الأنظمة الخطية.

2. أنظمة غير الخطية أقل تكلفة من الأنظمة الخطية.

3. عادة ما تكون صغيرة وصغيرة الحجم مقارنة بأنظمة خطية.

في الواقع، جميع الأنظمة الفيزيائية لديها نوع من اللاخطية. في بعض الأحيان قد يكون من المفيد إدخال اللاخطية عمداً بهدف تحسين أداء النظام أو جعل تشغيله أكثر أمانًا. نتيجة لذلك، يكون النظام أكثر اقتصادية من النظام الخطي.

أحد أبسط الأمثلة على نظام يحتوي على اللاخطية المُدخلة عن قصد هو نظام التحكم بالتتابع أو النظام ON/OFF. على سبيل المثال، في نظام التدفئة المنزلي النموذجي، يتم تشغيل الموقد عندما تنخفض درجة الحرارة تحت قيمة معينة ويتم إيقافه عندما تتجاوز درجة الحرارة قيمة أخرى معينة. هنا سنقوم بمناقشة نوعين مختلفين من التحليل أو الطريقة لتحليل الأنظمة غير الخطية. هذان النوعان مكتوبان أدناه ومتناولان بشكل موجز مع مثال.

1. طريقة الدالة الوصفية في نظام التحكم

2. طريقة مستوى الطور في نظام التحكم

أنواع الشوائب غير الخطية الشائعة

في معظم أنواع أنظمة التحكم، لا يمكننا تجنب وجود أنواع معينة من الشوائب غير الخطية. يمكن تصنيف هذه الشوائب كثابتة أو ديناميكية. يعتبر النظام الذي يوجد فيه علاقة غير خطية بين المدخل والمخرج ولا تتضمن معادلة تفاضلية شاذة ثابتة. من ناحية أخرى، قد يكون المدخل والمخرج مرتبطين عبر معادلة تفاضلية غير خطية. يُسمى هذا النوع من الأنظمة بالشاذة الديناميكية.
والآن سنناقش أنواع مختلفة من الشوائب غير الخطية في نظام التحكم:

1. اللاخطية بسبب التشبع

2. اللاخطية بسبب الاحتكاك

3. اللاخطية بسبب منطقة الموت

4. اللاخطية بسبب التتابع (متحكم ON OFF)

5. اللاخطية بسبب الرجوع

اللاخطية بسبب التشبع

اللاخطية بسبب التشبع هي نوع شائع من الشوائب غير الخطية. على سبيل المثال، يمكن رؤية هذه اللاخطية في منحنى التشبع للموتور الكهربائي المستمر. للتفهم بشكل أفضل لهذه اللاخطية، دعنا نناقش منحنى التشبع أو منحنى التشبع المعطى أدناه:

من المنحنى أعلاه يمكننا أن نرى أن المخرج يظهر سلوكًا خطيًا في البداية ولكن بعد ذلك يحدث تشبع في المنحنى وهو نوع من الشوائب غير الخطية في النظام. لقد أظهرنا أيضًا المنحنى التقريبي.
نفس نوع اللاخطية بسبب التشبع يمكن رؤيته أيضًا في المكبر حيث يكون المخرج متناسبًا مع المدخل فقط لحدود معينة من قيم المدخل. عندما يتجاوز المدخل هذه الحدود، يصبح المخرج غير خطي.

اللاخطية بسبب الاحتكاك

أي شيء يعارض حركة الجسم النسبية يسمى احتكاك. إنه نوع من الشوائب غير الخطية الموجودة في النظام. المثال الشائع هو في الموتور الكهربائي حيث نجد احتكاك كولومب بسبب الاحتكاك بين الفرش والكوميوتر.

قد يكون الاحتكاك من ثلاثة أنواع وهي مكتوبة أدناه:

1. الاحتكاك الثابت : ببساطة، يعمل الاحتكاك الثابت على الجسم عندما يكون الجسم في حالة استراحة.

2. الاحتكاك الديناميكي : يعمل الاحتكاك الديناميكي على الجسم عندما يكون هناك حركة نسبية بين السطح والجسم.

3. الاحتكاك الحد : هو القيمة القصوى للاحتكاك الثابت الذي يعمل على الجسم عندما يكون في حالة استراحة.
   يمكن تصنيف الاحتكاك الديناميكي أيضًا إلى (أ) الاحتكاك الانزلاق (ب) الاحتكاك المتداول. يعمل الاحتكاك الانزلاق عندما تنزلق الأجسام فوق بعضها البعض بينما يعمل الاحتكاك المتداول عندما تتدحرج الأجسام فوق جسم آخر.
   في الأنظمة الميكانيكية لدينا نوعان من الاحتكاك وهما (أ) الاحتكاك اللزج (ب) الاحتكاك الثابت.

اللاخطية بسبب منطقة الموت

تظهر اللاخطية بسبب منطقة الموت في العديد من الأجهزة الكهربائية مثل المحركات، محركات الخدمة الكهربائية المستمرة، الأجهزة التنفيذية وما إلى ذلك. الشوائب غير الخطية بسبب منطقة الموت تعني حالة يكون فيها المخرج صفرًا عندما يتجاوز المدخل قيمة حدية معينة.

اللاخطية بسبب التتابع (متحكم ON/OFF)

يتم استخدام التتابعات الكهروميكانيكية بشكل متكرر في أنظمة التحكم حيث تتطلب استراتيجية التحكم إشارة تحكم بها فقط حالتان أو ثلاث حالات. يُسمى هذا أيضًا بمتحكم ON/OFF أو المتحكم ذي الحالتين.

اللاخطية بسبب التتابع (أ) ON/OFF (ب) ON/OFF مع التأخر (ج) ON/OFF مع منطقة الموت. يوضح الشكل (أ) الخصائص المثالية للتتابع ثنائي الاتجاه. في الواقع، لن يستجيب التتابع فورًا. بالنسبة للتيارات المدخلة بين وقتين التحويل، قد يكون التتابع في وضع واحد أو آخر اعتمادًا على التاريخ السابق للمدخل. تُسمى هذه الخاصية بـ ON/OFF مع التأخر كما هو موضح في الشكل (ب). كما أن التتابع لديه منطقة الموت محددة في الواقع كما هو موضح في الشكل (ج). تتسبب منطقة الموت في الحاجة إلى تيار محدد لتغيير موقع الذراع.

اللاخطية بسبب الرجوع

اللاخطية الهامة الأخرى الشائعة في الأنظمة الفيزيائية هي التأخر في التوصيلات الميكانيكية مثل علب التروس والروابط. هذه اللاخطية تختلف قليلاً عن التأخر المغناطيسي وتُعرف عادةً باسم اللاخطية بسبب الرجوع. الرجوع في الواقع هو المسافة بين أسنان العجلة الدافعة وأسنان العجلة المرفوعة. ضع في اعتبارك علبة التروس الموضحة في الشكل (أ) والتي تحتوي على رجوع كما هو موضح في الشكل (ب).

يشير الشكل (ب) إلى أن السن A للعجلة المرفوعة موجود في المنتصف بين الأسنان B1, B2 للعجلة المرفوعة. يوضح الشكل (ج) العلاقة بين حركات المدخل والمخرج. عندما يتم تحريك السن A بعكس اتجاه عقارب الساعة من هذا الموضع، لا يحدث أي حركة مخرجة حتى يلتقي السن A بالسن B1 للعجلة المرفوعة بعد السفر مسافة x/2. هذه الحركة المخرجة تتوافق مع الجزء mn من الشكل (ج). بعد أن يتم التواصل، تقوم العجلة المرفوعة بالدوران في الاتجاه المعاكس للعجلة الدافعة إذا كان معدل التروس مفترضًا أنه مساوٍ للوحدة. وهذا موضح بواسطة الجزء no. عندما يتم عكس حركة المدخل، يتوقف التواصل بين الأسنان A و B1 والعجلة المرفوعة تصبح مستقرة بناءً على الفرضية أن الحمل محكوم بالاحتكاك ولديه قابلية انضغاط ضئيلة.
لذلك، تستمر الحركة المخرجة حتى يتحرك السن A بمسافة x في الاتجاه المعاكس كما هو موضح في الشكل (ج) بواسطة الجزء op. بعد أن يتم التواصل بين الأسنان A و B2، تبدأ العجلة المرفوعة في الدوران في الاتجاه المعاكس كما هو موضح بواسطة الجزء pq. عندما يتم عكس حركة المدخل، تكون العجلة المرفوعة ثابتة مرة أخرى لجزء qr ثم تتبع العجلة الدافعة على طول rn.

مكافأة