Funktionens beskrivelse: Analyse af ikke-lineære systemer
Beskrivende funktion er en tilnærmet metode til at analysere visse ikke-lineære kontrolproblemer i kontrolteknik. Lad os først gennemgå den grundlæggende definition af et lineært kontrolesystem. Lineære kontrolesystemer er dem, hvor superpositionprincippet (hvis to indgange anvendes samtidigt, vil udgangen være summen af de to udgange) kan anvendes. I tilfælde af højst ikke-lineære kontrolesystemer kan vi ikke anvende superpositionprincippet.
Analyse af forskellige ikke-lineære kontrolesystemer er meget svær på grund af deres ikke-lineære adfærd. Vi kan ikke bruge konventionelle analysemetoder som Nyquist-stabilitetskriteriet eller nulpunkt-pole-metoden for at analysere disse ikke-lineære systemer, da disse metoder er begrænset til lineære systemer. Dette medgivet, findes der dog nogle fordele ved ikke-lineære systemer:
Ikke-lineære systemer kan yde bedre end lineære systemer.
Ikke-lineære systemer er billigere end lineære systemer.
De er normalt mindre og kompaktere i størrelse sammenlignet med lineære systemer.
I praksis har alle fysiske systemer en form for ikke-linearitet. Nogle gange kan det endda være ønskværdigt at indføre en ikke-linearitet bevidst for at forbedre systemets ydeevne eller gøre dets drift sikrere. Som resultat er systemet mere økonomisk end et lineært system.
Et af de enkleste eksempler på et system med en bevidst indført ikke-linearitet er et relæstyret eller ON/OFF-system. For eksempel i et typisk hjemmeopvarmningsanlæg bliver en varmekilde slukket, når temperaturen falder under en bestemt værdi, og tændt, når temperaturen overstiger en anden given værdi. Her skal vi diskutere to forskellige typer analyse eller metoder til at analysere ikke-lineære systemer. De to metoder er skrevet nedenfor og kort diskuteret med hjælp af et eksempel.
Beskrivende funktion metode i kontrolesystemer
Faseplanmetode i kontrolesystemer
Almindelige ikke-lineariteter
I de fleste typer kontrolesystemer kan vi ikke undgå tilstedeværelsen af visse typer ikke-lineariteter. Disse kan inddeles i statiske eller dynamiske. Et system, hvor der er en ikke-lineær forhold mellem input og output, der ikke involverer en differentialligning, kaldes en statisk ikke-linearitet. På den anden side kan input og output være relateret gennem en ikke-lineær differentialligning. Sådant et system kaldes en dynamisk ikke-linearitet.
Nu skal vi diskutere forskellige typer ikke-lineariteter i et kontrolesystem:
Sætningsmæssig ikke-linearitet
Friktion ikke-linearitet
Dødzone ikke-linearitet
Relæ ikke-linearitet (ON OFF-kontroller)
Backlash ikke-linearitet
Sætningsmæssig ikke-linearitet
Sætningsmæssig ikke-linearitet er en almindelig type ikke-linearitet. For eksempel ser vi denne ikke-linearitet i sætningen i magnetiseringskurven for DC-motor. For at forstå denne type ikke-linearitet lad os diskutere sætningskurven eller magnetiseringskurven, der er givet nedenfor:
Fra ovenstående kurve kan vi se, at udgangen viser lineær adfærd i begyndelsen, men efter dette er der en sætning i kurven, hvilket er en form for ikke-linearitet i systemet. Vi har også vist en approksimeret kurve.
Den samme type sætningsmæssig ikke-linearitet kan vi også se i en forstærker, hvor udgangen er proportional med input kun for en begrænset område af input-værdier. Når inputtet overstiger dette område, tendere udgangen til at blive ikke-lineær.
Friktion ikke-linearitet
Alt, der modsætter den relative bevægelse af legemet, kaldes friktion. Det er en form for ikke-linearitet, der findes i systemet. Et almindeligt eksempel på en elektrisk motor, hvor vi finder coulomb-friktionstræk pga. gnidningskontakt mellem børster og kommutator.
Friktion kan være af tre typer, og de er skrevet nedenfor:
Statisk friktion : Med andre ord virker statisk friktion på legemet, når legemet er i ro.
Dynamisk friktion : Dynamisk friktion virker på legemet, når der er en relativ bevægelse mellem overfladen og legemet.
Grænsen for friktion : Det defineres som den maksimale værdi af grænsen for friktion, der virker på legemet, når det er i ro.
Dynamisk friktion kan også inddeles i (a) Glidende friktion (b) Rullende friktion. Glidende friktion virker, når to legemer glider over hinanden, mens rullende friktion virker, når legemer ruller over et andet legeme.
I mekaniske systemer har vi to typer friktion, nemlig (a) Viskøs friktion (b) Statisk friktion.
Dødzone ikke-linearitet
Dødzone ikke-linearitet ses i forskellige elektriske enheder som motorer, DC-servo motorer, aktuatorer osv. Dødzone ikke-lineariteter refererer til en tilstand, hvor udgangen bliver nul, når inputtet overskrider en bestemt grænseværdi.
Relæ ikke-linearitet (ON/OFF-kontroller)
Elektromekaniske relæer bruges ofte i kontrolesystemer, hvor kontrolstrategien kræver et kontrolsignal med kun to eller tre tilstande. Dette kaldes også ON/OFF-kontroller eller to-tilstands-kontroller.
Relæ ikke-linearitet (a) ON/OFF (b) ON/OFF med hysteresis (c) ON/OFF med dødzone. Figur (a) viser de ideelle karakteristika for et tovejs-relæ. I praksis vil relæet ikke reagere øjeblikkeligt. For strømme mellem de to skiftetjenester kan relæet være i en position eller anden, afhængigt af den tidligere historie for input. Denne karakteristik kaldes ON/OFF med hysteresis, som vises i figur (b). Et relæ har også en bestemt mængde dødzone i praksis, som vises i figur (c). Dødzonen skyldes, at relæets feltspole kræver en endelig mængde strøm for at flytte armaturet.
Backlash ikke-linearitet
En anden vigtig ikke-linearitet, der ofte forekommer i fysiske systemer, er hysteresis i mekaniske transmissionsmekanismer som tandhjulsforbindelser og koblede systemer. Denne ikke-linearitet er noget anderledes end magnetisk hysteresis og kaldes ofte backlash ikke-lineariteter. Backlash er i virkeligheden spillet mellem tænderne på drevet tandhjul og dem på det drevne tandhjul. Betragt en gearboks, som vist i figur (a) nedenfor, med backlash som illustreret i figur (b).
Figur (b) viser tand A på det drevne tandhjul placeret midt mellem tand B1, B2 på det drevne tandhjul. Figur (c) giver forholdet mellem input- og output-bevægelser. Da tand A drives uret fra denne position, finder der ingen output-bevægelse sted, indtil tand A kommer i kontakt med tand B1 på det drevne tandhjul efter at have rejst en afstand x/2. Denne output-bevægelse svarer til segmentet mn i figur (c). Efter at kontakten er oprettet, roterer det drevne tandhjul imod uret gennem samme vinkel som det drevende tandhjul, hvis tandhjulsforhold antages at være ens. Dette er illustreret af linjesegmentet no. Når inputbevægelsen vendes, tabes kontakten mellem tand A og B1, og det drevne tandhjul bliver øjeblikkeligt stille, baseret på antagelsen, at belastningen er frictionsstyret med ubetydelig inertitet.
Outputbevægelsen fortsætter derfor, indtil tand A har rejst en afstand x i den omvendte retning, som vist i figur (c) af segmentet op. Efter at tand A har oprettet kontakt med tand B
