Functiebeschrijving: Analyse van niet-lineaire systemen
De beschrijvende functie is een benaderde procedure voor het analyseren van bepaalde niet-lineaire regelproblemen in de regeltechniek. Laten we eerst de basisdefinitie van een lineair regelsysteem herinneren. Lineaire regelsystemen zijn systemen waarin het superpositieprincipe (als twee ingangen gelijktijdig worden toegepast, dan is de uitgang de som van de twee uitgangen) van toepassing is. In het geval van sterk niet-lineaire regelsystemen kunnen we het superpositieprincipe niet toepassen.
Het analyseren van verschillende niet-lineaire regelsystemen is zeer moeilijk vanwege hun niet-lineaire gedrag. We kunnen conventionele analysemethoden zoals de Nyquist-stabiliteitscriterium of de pool-nulmethode niet gebruiken om deze niet-lineaire systemen te analyseren, omdat deze methoden beperkt zijn tot lineaire systemen. Toch hebben niet-lineaire systemen enkele voordelen:
Niet-lineaire systemen kunnen beter presteren dan lineaire systemen.
Niet-lineaire systemen zijn goedkoper dan lineaire systemen.
Ze zijn meestal kleiner en compacter in grootte vergeleken met lineaire systemen.
In de praktijk hebben alle fysieke systemen op een of andere manier een vorm van niet-lineariteit. Soms kan het zelfs wenselijk zijn om bewust een niet-lineariteit in te voeren om de prestaties van een systeem te verbeteren of om de werking veiliger te maken. Als resultaat is het systeem economischer dan een lineair systeem.
Een van de eenvoudigste voorbeelden van een systeem met een bewust ingevoerde niet-lineariteit is een schakelaarbestuurd of AAN/UIT-systeem. Bijvoorbeeld, in een typisch huishoudelijk verwarmingssysteem wordt de kachel AANGEZET wanneer de temperatuur onder een bepaalde gespecificeerde waarde valt en UITGEZET wanneer de temperatuur boven een andere gegeven waarde uitkomt. Hier gaan we twee verschillende soorten analyses of methoden bespreken voor het analyseren van niet-lineaire systemen. De twee methoden staan hieronder en worden kort besproken aan de hand van een voorbeeld.
Beschrijvende functie methode in regelsystemen
Fasevlakmethode in regelsystemen
Algemene niet-lineariteiten
In de meeste soorten regelsystemen kunnen we de aanwezigheid van bepaalde soorten niet-lineariteiten niet vermijden. Deze kunnen worden ingedeeld als statisch of dynamisch. Een systeem waarbij er een niet-lineaire relatie is tussen invoer en uitvoer, die geen differentiaalvergelijking impliceert, wordt een statische niet-lineariteit genoemd. Aan de andere kant kunnen de invoer en uitvoer gerelateerd zijn via een niet-lineaire differentiaalvergelijking. Zo'n systeem wordt een dynamische niet-lineariteit genoemd.
Nu gaan we verschillende soorten niet-lineariteiten in een regelsysteem bespreken:
Verzadigingsniet-lineariteit
Wrijvingsniet-lineariteit
Dodenzone niet-lineariteit
Schakelaarniet-lineariteit (AAN/UIT-regelaar)
Terugslagniet-lineariteit
Verzadigingsniet-lineariteit
Verzadigingsniet-lineariteit is een veelvoorkomend type niet-lineariteit. Bijvoorbeeld, zie deze niet-lineariteit in de verzadiging in de magnetiseringscurve van een gelijkstroommotor. Om dit type niet-lineariteit te begrijpen, laten we de verzadigingscurve of magnetiseringscurve bespreken, zoals hieronder getoond:
Uit de bovenstaande curve zien we dat de uitvoer in het begin een lineair gedrag vertoont, maar daarna is er een verzadiging in de curve, wat een soort niet-lineariteit in het systeem is. We hebben ook de benaderde curve getoond.
Hetzelfde type verzadigingsniet-lineariteit zien we ook bij een versterker, waarbij de uitvoer evenredig is met de invoer, alleen voor een beperkte reeks waarden van de invoer. Wanneer de invoer deze reeks overschrijdt, neigt de uitvoer tot niet-lineariteit.
Wrijvingsniet-lineariteit
Iets wat de relatieve beweging van een lichaam tegenwerkt, wordt wrijving genoemd. Het is een soort niet-lineariteit die in het systeem aanwezig is. Een algemeen voorbeeld is een elektrische motor waarin we coulombwrijving vinden door de wrijvingscontacten tussen de borstels en de commutator.
Wrijving kan van drie soorten zijn en ze staan hieronder:
Statische wrijving : Met andere woorden, de statische wrijving werkt op het lichaam wanneer het lichaam stil staat.
Dynamische wrijving : Dynamische wrijving werkt op het lichaam wanneer er een relatieve beweging is tussen het oppervlak en het lichaam.
Limietwrijving : Dit wordt gedefinieerd als de maximale waarde van de limietwrijving die op het lichaam werkt wanneer het stil staat.
Dynamische wrijving kan ook worden ingedeeld als (a) Glijdende wrijving (b) Rollende wrijving. Glijdende wrijving werkt wanneer twee lichamen over elkaar glijden, terwijl rollende wrijving werkt wanneer de lichamen over een ander lichaam rollen.
In mechanische systemen hebben we twee soorten wrijving, namelijk (a) Viscosewrijving (b) Statische wrijving.
Dodenzone niet-lineariteit
Dodenzone niet-lineariteit komt voor in verschillende elektrische apparaten zoals motoren, DC-servo-motoren, actuators, enz. Dodenzone niet-lineariteiten verwijzen naar een situatie waarbij de uitvoer nul wordt wanneer de invoer een bepaalde limietwaarde overschrijdt.
Schakelaarniet-lineariteit (AAN/UIT-regelaar)
Elektromechanische schakelaars worden vaak gebruikt in regelsystemen waarbij de regelstrategie een regelingsignaal vereist met slechts twee of drie toestanden. Dit wordt ook wel een AAN/UIT-regelaar of twee-toestandsregelaar genoemd.
Schakelaarniet-lineariteit (a) AAN/UIT (b) AAN/UIT met hysteresis (c) AAN/UIT met dodenzone. Figuur (a) toont de ideale kenmerken van een tweerichtingsschakelaar. In de praktijk zal de schakelaar niet onmiddellijk reageren. Voor stroomsterkten tussen de twee schakelmomenten kan de schakelaar in een van de posities zijn, afhankelijk van de vorige geschiedenis van de invoer. Dit kenmerk wordt AAN/UIT met hysteresis genoemd, zoals getoond in figuur (b). Een schakelaar heeft ook een bepaalde hoeveelheid dodenzone in de praktijk, zoals getoond in figuur (c). De dodenzone wordt veroorzaakt doordat de spoel van de schakelaar een bepaalde hoeveelheid stroom nodig heeft om de armatuur te verplaatsen.
Terugslagniet-lineariteit
Een andere belangrijke niet-lineariteit die vaak voorkomt in fysieke systemen is hysteresis in mechanische overdrachten zoals tandwielen en koppelingen. Deze niet-lineariteit verschilt enigszins van magnetische hysteresis en wordt meestal aangeduid als terugslagniet-lineariteiten. Terugslag is in feite de speling tussen de tanden van de aandrijfwielen en die van de aangedreven wielen. Overweeg een versnellingsbak zoals getoond in figuur (a) met terugslag zoals getoond in figuur (b).
Figuur (b) toont de tand A van de aangedreven wiel, gelegen midden tussen de tanden B1, B2 van het aangedreven wiel. Figuur (c) geeft de relatie tussen de invoer- en uitvoerbewegingen. Als de tand A vanaf deze positie in de klokrichting wordt aangedreven, vindt er geen uitvoerbeweging plaats totdat de tand A contact maakt met de tand B1 van het aangedreven wiel, na het afleggen van een afstand x/2. Deze uitvoerbeweging komt overeen met het segment mn in figuur (c). Na het maken van contact roteert het aangedreven wiel in tegengestelde richting door dezelfde hoek als het aandrijfwiel, indien de tandwielverhouding gelijk wordt aangenomen. Dit wordt geïllustreerd door het lijnsegment no. Als de invoerbeweging wordt omgekeerd, wordt het contact tussen de tanden A en B
