Opis funkcije Analiza nelinearnih sustava
Opisna funkcija je približna metoda za analizu određenih nelinearnih kontrolnih problema u kontrolnoj inženjeriji. Da bismo počeli, prvo se sjetimo osnovne definicije linearnog kontrolnog sustava. Linearni kontrolni sustavi su oni u kojima se princip superpozicije (ako se istovremeno primijene dva ulaza, tada će izlaz biti zbroj dva izlaza) može primijeniti. U slučaju visoko nelinearnih kontrolnih sustava, ne možemo primijeniti princip superpozicije.
Analiza različitih nelinearnih kontrolnih sustava vrlo je teška zbog njihovog nelinearnog ponašanja. Ne možemo koristiti konvencionalne metode analize poput Nyquistove kriterije stabilnosti ili metode pola i nula kako bismo analizirali ove nelinearne sustave, jer su ove metode ograničene na linearne sustave. Ipak, postoje neke prednosti nelinearnih sustava:
Nelinearni sustavi mogu bolje raditi od linearnih sustava.
Nelinearni sustavi su jeftiniji od linearnih sustava.
Obično su manji i kompaktniji u veličini u usporedbi s linearnim sustavima.
U praksi, svi fizički sustavi imaju neku formu nelinearnosti. Ponekad je čak i poželjno unijeti nelinearnost namjerno kako bi se poboljšala performansa sustava ili osiguralo sigurnije funkcioniranje. Kao rezultat, sustav je ekonomičniji od linearnog sustava.
Jedan od najjednostavnijih primjera sustava s namjerno unesenom nelinearnošću jest relé kontroli ili ON/OFF sustav. Na primjer, u tipičnom domaćem sustavu zagrijavanja, pećica se uključuje kada temperatura padne ispod određene vrijednosti, a isključuje se kada temperatura premaši drugu zadatu vrijednost. Ovdje ćemo raspravljati o dvije različite vrste analize ili metode za analizu nelinearnih sustava. Dvije metode su navedene ispod i kraće raspravljaju se uz pomoć primjera.
Metoda opisne funkcije u kontrolnom sustavu
Fazna ravninska metoda u kontrolnom sustavu
Uobičajene nelinearnosti
U većini vrsta kontrolnih sustava, ne možemo izbjegnuti prisustvo određenih vrsta nelinearnosti. One se mogu klasificirati kao statičke ili dinamičke. Sustav za koji postoji nelinearna relacija između ulaza i izlaza, koja ne uključuje diferencijalnu jednadžbu, naziva se statična nelinearnost. S druge strane, ulaz i izlaz mogu biti povezani kroz nelinearnu diferencijalnu jednadžbu. Takav sustav se naziva dinamičkom nelinearnošću.
Sada ćemo raspraviti o različitim vrstama nelinearnosti u kontrolnim sustavima:
Nelinearnost nasycenja
Nelinearnost trenja
Nelinearnost mrtve zone
Nelinearnost relé (ON OFF kontroler)
Nelinearnost povratne veze
Nelinearnost nasycenja
Nelinearnost nasycenja je uobičajena vrsta nelinearnosti. Na primjer, vidimo ovu nelinearnost u krivulji magnetizacije DC motora. Da bismo razumjeli ovu vrstu nelinearnosti, pogledajmo krivulju nasycenja ili magnetizaciju koja je dana ispod:
Iz gornje krivulje možemo vidjeti da izlaz pokazuje linearno ponašanje na početku, ali nakon toga dolazi do nasycenja u krivulji, što je jedna vrsta nelinearnosti u sustavu. Također smo prikazali aproksimiranu krivulju.
Ista vrsta nelinearnosti nasycenja možemo vidjeti i u pojačivaču, gdje je izlaz proporcionalan ulazu samo za ograničeni opseg vrijednosti ulaza. Kada ulaz premaši taj opseg, izlaz teži da postane nelinearan.
Nelinearnost trenja
Bilo što što suprotstavlja relativnom gibanju tijela naziva se trenje. To je vrsta nelinearnosti prisutna u sustavu. Zajednički primjer je električni motor u kojem nalazimo Coulombovo trenje zbog diranja među štapićima i komutatorom.
Trenje može biti tri vrste i one su navedene ispod:
Statičko trenje : Za razumijevanje, statičko trenje djeluje na tijelo kada je tijelo u mirovanju.
Dinamičko trenje : Dinamičko trenje djeluje na tijelo kada postoji relativno gibanje između površine i tijela.
Granice trenja : Definira se kao maksimalna vrijednost granice trenja koja djeluje na tijelo kada je tijelo u mirovanju.
Dinamičko trenje također se može klasificirati kao (a) klizno trenje (b) valjano trenje. Klizno trenje djeluje kada dva tijela klize jedno preko drugog, dok valjano djeluje kada tijela valjaju preko drugog tijela.
U mehaničkim sustavima imamo dvije vrste trenja, a to su (a) viskozno trenje (b) statičko trenje.
Nelinearnost mrtve zone
Nelinearnost mrtve zone se pojavljuje u raznim električnim uređajima poput motora, DC servo motora, aktuatora itd. Nelinearnosti mrtve zone odnose se na stanje u kojem izlaz postaje nula kada ulaz premaši određenu granicnu vrijednost.
Nelinearnost relé (ON/OFF kontroler)
Elektromehanička relé često se koriste u kontrolnim sustavima gdje strategija kontrole zahtijeva kontrolni signal sa samo dvije ili tri stanja. To se također naziva ON/OFF kontrolerom ili kontrolerom s dva stanja.
Nelinearnost relé (a) ON/OFF (b) ON/OFF s histerezom (c) ON/OFF s mrtvom zonom. Slika (a) prikazuje idealne karakteristike dvosmjernog relé. U praksi, relé ne reagira odmah. Za strujne tokove između dva trenutka prebacivanja, relé može biti u jednom ili drugom položaju, ovisno o prethodnoj povijesti ulaza. Ta karakteristika se naziva ON/OFF s histereza, što se vidi na slici (b). Relé također ima određenu količinu mrtve zone u praksi, što se vidi na slici (c). Mrtva zona je posljedica činjenice da namotaj relé zahtijeva konačnu količinu struje da pomakne armaturu.
Nelinearnost povratne veze
Još jedna važna nelinearnost koja se često javlja u fizičkim sustavima jest histereza u mehaničkim prenosnicama poput upravljačkih lanaca i spojeva. Ova nelinearnost malo se razlikuje od magnetske histereze i obično se naziva nelinearnost povratne veze. Povratna veza zapravo je igra između zuba vođenog zupčanika i zuba vodenog zupčanika. Razmotrimo upravljački lanac prikazan na slici (a) s povratnom vezom ilustriranom na slici (b).
Slika (b) prikazuje zube A vodenog zupčanika smještena na sredini između zuba B1, B2 vodenog zupčanika. Slika (c) daje odnos između ulaznih i izlaznih gibanja. Kada se zubi A okreću u smjeru kazaljke na satu s tog položaja, nema izlaznog gibanja dok se zub A ne dotakne zuba B1 vodenog zupčanika nakon putovanja udaljenosti x/2. Ovo izlazno gibanje odgovara segmentu mn slike (c). Nakon što se kontakt uspostavi, vedeni zupčanik rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kroz isti kut kao vo
