Función de descripción Análise de sistemas non lineares

A función de descripción é un procedemento aproximado para analizar certos problemas de control non lineal en enxeñaría de control. Para comezar, recordemos primeiro a definición básica dun sistema de control lineal. Os sistemas de control lineal son aqueles nos que o principio da superposición (se se aplican dous entradas simultaneamente, entón a saída será a suma de dúas salidas) é aplicable. No caso de sistemas de control altamente non lineales, non podemos aplicar o principio da superposición.

O análise de diferentes sistemas de control non lineal é moi difícil debido ao seu comportamento non lineal. Non podemos usar métodos de análise convencionais como o criterio de estabilidade de Nyquist ou o método de polo-cero para analizar estes sistemas non lineales, xa que estes métodos están restrinxidos a sistemas lineais. Dito isto, hai algúns vantaxes nos sistemas non lineais:

1. Os sistemas non lineais poden funcionar mellor que os sistemas lineais.

2. Os sistemas non lineais son menos caros que os sistemas lineais.

3. Son xeralmente pequenos e compactos en tamaño comparados cos sistemas lineais.

Na práctica, todos os sistemas físicos teñen algún tipo de non linearidade. Ás veces pode ser deseable introducir deliberadamente unha non linearidade para mellorar o rendemento dun sistema ou facer a súa operación máis segura. Como resultado, o sistema é máis económico que o sistema lineal.

Un dos exemplos máis sinxelos dun sistema con unha non linearidade introducida intencionadamente é un sistema controlado por relé ou ON/OFF. Por exemplo, nun típico sistema de calefacción doméstica, un forno encéndese cando a temperatura cae por debaixo dun valor especificado e apágase cando a temperatura excede outro valor dado. Aquí vamos a discutir dous tipos diferentes de análise ou método para analizar os sistemas non lineais. Os dous métodos están escritos a continuación e discutidos brevemente coa axuda dun exemplo.

1. Método da función de descripción no sistema de control

2. Método do plano de fase no sistema de control

Non Linearidades Comúns

En moitos tipos de sistemas de control, non podemos evitar a presenza de certos tipos de non linearidades. Estas poden clasificarse como estáticas ou dinámicas. Un sistema para o cal hai unha relación non lineal entre a entrada e a saída, que non implica unha ecuación diferencial, chámase non linearidade estática. Por outro lado, a entrada e a saída poden estar relacionadas a través dunha ecuación diferencial non lineal. Tal sistema chámase non linearidade dinámica.
Agora vamos a discutir varios tipos de non linearidades nun sistema de control:

1. Non linearidade de saturación

2. Non linearidade de fricción

3. Non linearidade de zona morta

4. Non linearidade de relé (controlador ON OFF)

5. Non linearidade de backlash

Non Linearidade de Saturación

A non linearidade de saturación é un tipo común de non linearidade. Por exemplo, vemos esta non linearidade na saturación na curva de magnetización do motor DC. Para entender este tipo de non linearidade, discutamos a curva de saturación ou curva de magnetización que se presenta a continuación:

Dende a curva anterior podemos ver que a saída mostra un comportamento lineal no comezo, pero despois hai unha saturación na curva que é un tipo de non linearidade no sistema. Tamén mostramos a curva aproximada.
O mesmo tipo de non linearidade de saturación tamén podemos ver nuns amplificadores para os cales a saída é proporcional á entrada só para un rango limitado de valores de entrada. Cando a entrada excede este rango, a saída tende a volverse non lineal.

Non Linearidade de Fricción

Calquera cousa que se opoña ao movemento relativo do corpo chámase fricción. É un tipo de non linearidade presente no sistema. O exemplo común nun motor eléctrico onde atopamos a tracción de fricción de Coulomb debido ao contacto de roce entre as escovas e o comutador.

A fricción pode ser de tres tipos e están escritos a continuación:

1. Fricción estática : En palabras simples, a fricción estática actúa no corpo cando o corpo está en repouso.

2. Fricción dinámica : A fricción dinámica actúa no corpo cando hai un movemento relativo entre a superficie e o corpo.

3. Fricción límite : Defineuse como o valor máximo de fricción límite que actúa no corpo cando está en repouso.
   A fricción dinámica tamén pode clasificarse como (a) fricción de deslizamento (b) fricción de rodadura. A fricción de deslizamento actúa cando dous corpos deslizan sobre si mesmos mentres que a fricción de rodadura actúa cando os corpos rodan sobre outro corpo.
   Nos sistemas mecánicos temos dous tipos de fricción nomeadamente (a) fricción viscosa (b) fricción estática.

Non Linearidade de Zona Merta

A non linearidade de zona morta aparece en diversos dispositivos eléctricos como motores, motores servo DC, actuadores, etc. As non linearidades de zona morta refírense a unha condición na que a saída torna-se cero cando a entrada supera certo valor límite.

Non Linearidade de Relés (Controlador ON/OFF)

Os relés electromecánicos úsanse frecuentemente en sistemas de control onde a estratexia de control require unha señal de control con só dous ou tres estados. Isto tamén chámase controlador ON/OFF ou controlador de dous estados.

Non Linearidade de Relé (a) ON/OFF (b) ON/OFF con histeresis (c) ON/OFF con zona morta. A figura (a) amosa as características ideais dun relé bidireccional. Na práctica, o relé non responderá instantaneamente. Para correntes de entrada entre os dous instantes de conmutación, o relé pode estar nunha posición ou noutra dependendo da historia previa da entrada. Esta característica chámase ON/OFF con histeresis que amosa na figura (b). Un relé tamén ten unha cantidade definida de zona morta na práctica que amosa na figura (c). A zona morta debe ao feito de que o devanado do campo do relé require unha cantidade finita de corrente para mover o armadura.

Non Linearidade de Backlash

Outra non linearidade importante que ocorre comunmente nos sistemas físicos é a histerese nas transmisións mecánicas como trens de engrenagens e ligazóns. Esta non linearidade é algo diferente da histerese magnética e denomínase comunmente non linearidade de backlash. O backlash é o folgote entre os dentes da engrenaxe motriz e os da engrenaxe accionada. Consideremos un cambio de velocidades como se amosa na figura (a) a seguir, co backlash ilustrado na figura (b).

A figura (b) amosa os dentes A da engrenaxe accionada situados a metade do camiño entre os dentes B1, B2 da engrenaxe accionada. A figura (c) dá a relación entre os movementos de entrada e saída. Cando o dente A é accionado no sentido horario desde esta posición, non se produce ningún movemento de saída ata que o dente A entre en contacto co dente B1 da engrenaxe accionada despois de viaxar unha distancia x/2. Este movemento de saída corresponde ao segmento mn da figura (c). Despois de establecer o contacto, a engrenaxe accionada rota no sentido antihorario a través do mesmo ángulo que a engrenaxe motriz se supón que a relación de velocidades é unidade. Isto ilustra a liña segmento no. Cando o movemento de entrada é revertido, o contacto entre os dentes A e B1 perdeuse e a engrenaxe accionada inmediatamente fica inmóbil baseándose na suposición de que a carga está controlada pola fricción con inercia negligible.
O movemento de saída, polo tanto, causa ata que o dente A teña viaxado unha distancia x no sentido contrario como se amosa na figura (c) polo segmento op. Despois de que o dente A establece contacto co dente B2, a engrenaxe accionada agora móvese no sentido horario como se amosa polo segmento pq. Cando o movemento de entrada é revertido a dirección da engrenaxe está de novo en repouso para o segmento qr e logo segue a engrenaxe motriz ao longo de rn.

Propina