Función Descriptiva: Análisis de Sistemas No Lineales
La función descriptiva es un procedimiento aproximado para analizar ciertos problemas de control no lineal en ingeniería de control. Para comenzar, recordemos la definición básica de un sistema de control lineal. Los sistemas de control lineales son aquellos en los que se aplica el principio de superposición (si se aplican dos entradas simultáneamente, entonces la salida será la suma de las dos salidas). En el caso de sistemas de control altamente no lineales, no podemos aplicar el principio de superposición.
El análisis de diferentes sistemas de control no lineales es muy difícil debido a su comportamiento no lineal. No podemos usar métodos de análisis convencionales como el criterio de estabilidad de Nyquist o el método de polos y ceros para analizar estos sistemas no lineales, ya que estos métodos están restringidos a sistemas lineales. Dicho esto, hay algunas ventajas en los sistemas no lineales:
Los sistemas no lineales pueden rendir mejor que los sistemas lineales.
Los sistemas no lineales son menos costosos que los sistemas lineales.
Suelen ser más pequeños y compactos en tamaño en comparación con los sistemas lineales.
En la práctica, todos los sistemas físicos tienen algún tipo de no linealidad. A veces, incluso puede ser deseable introducir una no linealidad deliberadamente para mejorar el rendimiento de un sistema o hacer que su operación sea más segura. Como resultado, el sistema es más económico que el sistema lineal.
Uno de los ejemplos más sencillos de un sistema con una no linealidad introducida intencionalmente es un sistema controlado por relé o ON/OFF. Por ejemplo, en un sistema de calefacción doméstico típico, una caldera se enciende cuando la temperatura cae por debajo de un valor especificado y se apaga cuando la temperatura excede otro valor dado. Aquí vamos a discutir dos tipos diferentes de análisis o métodos para analizar los sistemas no lineales. Los dos métodos se escriben a continuación y se discuten brevemente con la ayuda de un ejemplo.
Método de la función descriptiva en el sistema de control
Método del plano de fases en el sistema de control
No Linealidades Comunes
En la mayoría de los tipos de sistemas de control, no podemos evitar la presencia de ciertos tipos de no linealidades. Estas pueden clasificarse como estáticas o dinámicas. Un sistema para el cual existe una relación no lineal entre la entrada y la salida, que no implica una ecuación diferencial, se llama no linealidad estática. Por otro lado, la entrada y la salida pueden estar relacionadas a través de una ecuación diferencial no lineal. Tal sistema se llama no linealidad dinámica.
Ahora vamos a discutir varios tipos de no linealidades en un sistema de control:
No linealidad de saturación
No linealidad de fricción
No linealidad de zona muerta
No linealidad de relé (controlador ON/OFF)
No linealidad de retroceso
No linealidad de saturación
La no linealidad de saturación es un tipo común de no linealidad. Por ejemplo, vemos esta no linealidad en la curva de magnetización de un motor DC. Para entender este tipo de no linealidad, discutamos la curva de saturación o curva de magnetización que se muestra a continuación:
De la curva anterior, podemos ver que la salida muestra un comportamiento lineal al principio, pero después hay una saturación en la curva, lo que es una especie de no linealidad en el sistema. También hemos mostrado la curva aproximada.
El mismo tipo de no linealidad de saturación también podemos verlo en un amplificador, donde la salida es proporcional a la entrada solo para un rango limitado de valores de entrada. Cuando la entrada excede este rango, la salida tiende a volverse no lineal.
No linealidad de fricción
Cualquier cosa que se oponga al movimiento relativo del cuerpo se llama fricción. Es una especie de no linealidad presente en el sistema. Un ejemplo común es en un motor eléctrico, donde encontramos la fricción de Coulomb debido al contacto de rozamiento entre las escobillas y el colector.
La fricción puede ser de tres tipos y se enumeran a continuación:
Fricción estática : En palabras simples, la fricción estática actúa sobre el cuerpo cuando el cuerpo está en reposo.
Fricción dinámica : La fricción dinámica actúa sobre el cuerpo cuando hay un movimiento relativo entre la superficie y el cuerpo.
Fricción límite : Se define como el valor máximo de la fricción límite que actúa sobre el cuerpo cuando está en reposo.
La fricción dinámica también se puede clasificar en (a) fricción de deslizamiento (b) fricción de rodadura. La fricción de deslizamiento actúa cuando dos cuerpos se deslizan uno sobre el otro, mientras que la fricción de rodadura actúa cuando los cuerpos ruedan sobre otro cuerpo.
En sistemas mecánicos tenemos dos tipos de fricción, a saber, (a) fricción viscosa (b) fricción estática.
No linealidad de zona muerta
La no linealidad de zona muerta se muestra en diversos dispositivos eléctricos como motores, motores servo DC, actuadores, etc. No linealidades de zona muerta se refieren a una condición en la cual la salida se vuelve cero cuando la entrada supera cierto valor límite.
No linealidad de relés (controlador ON/OFF)
Los relés electromecánicos se utilizan frecuentemente en sistemas de control donde la estrategia de control requiere una señal de control con solo dos o tres estados. Esto también se llama controlador ON/OFF o controlador de dos estados.
No linealidad de relé (a) ON/OFF (b) ON/OFF con histeresis (c) ON/OFF con zona muerta. La Figura (a) muestra las características ideales de un relé bidireccional. En la práctica, el relé no responderá instantáneamente. Para corrientes de entrada entre los dos instantes de conmutación, el relé puede estar en una posición u otra dependiendo de la historia previa de la entrada. Esta característica se llama ON/OFF con histeresis, que se muestra en la Figura (b). Un relé también tiene una cantidad definida de zona muerta en la práctica, que se muestra en la Figura (c). La zona muerta se debe al hecho de que el bobinado del campo del relé requiere una cantidad finita de corriente para mover el armazón.
No linealidad de retroceso
Otra no linealidad importante que ocurre comúnmente en los sistemas físicos es la histeresis en transmisiones mecánicas como trenes de engranajes y mecanismos. Esta no linealidad es algo diferente de la histeresis magnética y se conoce comúnmente como no linealidades de retroceso. El retroceso, en realidad, es el juego entre los dientes del engranaje conductor y los del engranaje conducido. Consideremos una caja de cambios como se muestra en la figura (a) con retroceso ilustrado en la figura (b).
La Figura (b) muestra los dientes A del engranaje conducido ubicados a medio camino entre los dientes B1, B2 del engranaje conducido. La Figura (c) da la relación entre los movimientos de entrada y salida. A medida que el diente A se mueve en sentido horario desde esta posición, no ocurre ningún movimiento de salida hasta que el diente A hace contacto con el diente B1 del engranaje conducido después de viajar una distancia x/2. Este movimiento de salida corresponde al segmento mn de la Figura (c). Después de establecerse el contacto, el engranaje conducido gira en sentido antihorario a través del mismo ángulo que el engranaje conductor si se asume que la relación de engranajes es unidad. Esto se ilustra mediante el segmento de línea no. A medida que el movimiento de entrada se invierte, se pierde el contacto entre los dientes A y B1 y el engranaje conducido inmediatamente se detiene basándose en la suposición de que la carga está controlada por la fricción con inercia despreciable.
Por lo tanto, el movimiento de salida causa hasta que el diente A ha viajado una distancia x en la dirección inversa, como se muestra en la Figura (c) por el segmento op. Después de que el diente A establece contacto con el diente B2, el engranaje conducido ahora se mueve en sentido horario como se muestra por el segmento pq. A medida que el movimiento de entrada se invierte, el engranaje conducido vuelve a estar en reposo para el segmento qr y luego sigue al engranaje conductor a lo largo de rn.
