Opis funkcji: Analiza nieliniowych systemów
Funkcja opisująca to przybliżona procedura analizy niektórych nieliniowych problemów sterowania w inżynierii sterowania. Zacznijmy od przypomnienia podstawowej definicji liniowego systemu sterowania. Liniowe systemy sterowania to te, w których zasada superpozycji (jeśli dwa wejścia są stosowane jednocześnie, to wyjście będzie sumą dwóch wyjść) jest stosowalna. W przypadku silnie nieliniowych systemów sterowania nie możemy zastosować zasady superpozycji.
Analiza różnych nieliniowych systemów sterowania jest bardzo trudna ze względu na ich nieliniowe zachowanie. Nie możemy używać konwencjonalnych metod analizy, takich jak kryterium stabilności Nyquista lub metoda biegunów i zer, aby analizować te nieliniowe systemy, ponieważ te metody są ograniczone do systemów liniowych. Mimo to, istnieją pewne zalety nieliniowych systemów:
Nieliniowe systemy mogą działać lepiej niż liniowe systemy.
Nieliniowe systemy są tańsze niż liniowe systemy.
Są zwykle mniejsze i kompaktowe w porównaniu do liniowych systemów.
W praktyce wszystkie fizyczne systemy mają pewien rodzaj nieliniowości. Czasami może być nawet pożądane wprowadzenie nieliniowości celowo, aby poprawić działanie systemu lub uczynić jego działanie bezpieczniejszym. W wyniku tego system jest bardziej ekonomiczny niż liniowy system.
Jednym z najprostszych przykładów systemu z celowo wprowadzoną nieliniowością jest system sterowany przełącznikiem lub ON/OFF. Na przykład, w typowym domowym systemie ogrzewania piec jest włączany, gdy temperatura spada poniżej określonej wartości, a wyłączany, gdy temperatura przekracza inną daną wartość. Teraz omówimy dwa różne typy analizy lub metody analizy nieliniowych systemów. Dwie metody są wymienione poniżej i krótko omówione na przykładzie.
Metoda funkcji opisującej w systemach sterowania
Metoda płaszczyzny fazowej w systemach sterowania
Typowe nieliniowości
W większości typów systemów sterowania nie można uniknąć obecności pewnych typów nieliniowości. Mogą one być klasyfikowane jako statyczne lub dynamiczne. System, dla którego istnieje nieliniowa zależność między wejściem a wyjściem, która nie obejmuje równania różniczkowego, nazywamy statyczną nieliniowością. Z drugiej strony, wejście i wyjście mogą być powiązane przez nieliniowe równanie różniczkowe. Taki system nazywamy dynamiczną nieliniowością.
Teraz omówimy różne typy nieliniowości w systemie sterowania:
Nieliniowość nasycenia
Nieliniowość tarcia
Nieliniowość martwej strefy
Nieliniowość przełącznika (kontroler ON/OFF)
Nieliniowość luzu
Nieliniowość nasycenia
Nieliniowość nasycenia to typowa forma nieliniowości. Przykład takiej nieliniowości można zobaczyć w krzywej magnetyzacji prądnika stałoprądowego. Aby zrozumieć ten typ nieliniowości, omówmy krzywą nasycenia lub krzywą magnetyzacji, która jest przedstawiona poniżej:
Z powyższej krzywej możemy zauważyć, że wyjście pokazuje liniowe zachowanie na początku, ale po tym występuje nasycenie w krzywej, co jest jednym z rodzajów nieliniowości w systemie. Pokazaliśmy również przybliżoną krzywą.
Ten sam typ nieliniowości nasycenia możemy również zobaczyć w wzmacniaczu, gdzie wyjście jest proporcjonalne do wejścia tylko w ograniczonym zakresie wartości wejściowych. Gdy wejście przekracza ten zakres, wyjście staje się nieliniowe.
Nieliniowość tarcia
Cokolwiek, co przeciwstawia się względnemu ruchowi ciała, nazywamy tarciem. Jest to rodzaj nieliniowości obecnej w systemie. Powszechnym przykładem jest silnik elektryczny, w którym występuje tarcie Coulomba spowodowane tarciem między szczotkami a kolektorem.
Tarcie może być trzech rodzajów, które są wymienione poniżej:
Tarcie statyczne : Prostymi słowami, tarcie statyczne działa na ciało, gdy ciało jest w spoczynku.
Tarcie dynamiczne : Tarcie dynamiczne działa na ciało, gdy występuje względny ruch między powierzchnią a ciałem.
Tarcie graniczne : Definiuje się jako maksymalna wartość tarcia granicznego, które działa na ciało, gdy jest ono w spoczynku.
Tarcie dynamiczne można również podzielić na (a) tarcie ślizgowe (b) tarcie toczenia. Tarcie ślizgowe działa, gdy dwa ciała ślizgają się po sobie, podczas gdy tarcie toczenia działa, gdy ciała toczą się po innym ciele.
W systemach mechanicznych mamy dwa rodzaje tarcia, a mianowicie (a) tarcie lepkie (b) tarcie statyczne.
Nieliniowość martwej strefy
Nieliniowość martwej strefy występuje w różnych urządzeniach elektrycznych, takich jak silniki, serwomechanizmy prądu stałego, akulatory itp. Nieliniowości martwej strefy oznaczają stan, w którym wyjście staje się zero, gdy wejście przekracza pewną graniczną wartość.
Nieliniowość przełącznika (kontroler ON/OFF)
Elektromechaniczne przełączniki są często używane w systemach sterowania, gdzie strategia sterowania wymaga sygnału sterującego z tylko dwoma lub trzema stanami. To nazywane jest również kontrolerem ON/OFF lub kontrolerem dwustanowym.
Nieliniowość przełącznika (a) ON/OFF (b) ON/OFF z histerezą (c) ON/OFF z martwą strefą. Rysunek (a) pokazuje idealne charakterystyki dwukierunkowego przełącznika. W praktyce, przełącznik nie odpowie natychmiast. Dla prądów wejściowych między dwoma momentami przełączenia, przełącznik może znajdować się w jednej pozycji lub innej, w zależności od wcześniejszej historii wejścia. Ta charakterystyka nazywana jest ON/OFF z histerezą, co pokazuje rysunek (b). Przełącznik ma również określoną ilość martwej strefy w praktyce, co pokazuje rysunek (c). Martwa strefa jest spowodowana faktem, że cewka pola magnetycznego przełącznika wymaga skończonej ilości prądu, aby przesunąć ramkę.
Nieliniowość luzu
Inna ważna nieliniowość, często występująca w systemach fizycznych, to histereza w przekładniach mechanicznych, takich jak układy kołowe i sprzęgi. Ta nieliniowość jest nieco inna niż histereza magnetyczna i jest często nazywana nieliniowością luzu. Luz to luźne połączenie między zębami napędowego koła i napędzanego koła. Rozważmy przekładnię, jak pokazano na poniższym rysunku (a), mającą luz, jak ilustruje rysunek (b).
Rysunek (b) pokazuje ząb A napędzanego koła położony w połowie między zębami B1, B2 napędzanego koła. Rysunek (c) przedstawia relację między ruchami wejściowymi i wyjściowymi. Gdy ząb A jest napędzany zgodnie z ruchem wskazówek zegara od tej pozycji, żaden ruch wyjściowy nie występuje, dopóki ząb A nie dotknie zęba B1 napędzanego koła po przebyciu odległości x/2. Ten ruch wyjściowy odpowiada segmentowi mn na rysunku (c). Po nawiązaniu kontaktu napędzane koło obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przez ten sam kąt, co napędowe koło, jeśli zakładamy, że stosunek przekładni wynosi jeden. To jest ilustrowane przez segment no. Gdy ruch wejściowy jest odwrócony, kontakt między zębami A i B1 zostaje utracony, a napędzane koło natychmiast staje się nieruchome, zakładając, że obciążenie jest sterowane przez tarcie z zaniedbaną inercją.
Ruch wyjściowy, więc, powoduje, aż z
