Popis funkce: Analýza nelineárních systémů

Popisná funkce je přibližná procedura pro analýzu určitých nelineárních problémů v řídicím inženýrství. Začněme tím, že si připomeňme základní definici lineárního řídicího systému. Lineární řídicí systémy jsou takové, kde lze použít princip superpozice (pokud jsou současně aplikovány dva vstupy, pak bude výstup součtem dvou výstupů). V případě silně nelineárních řídicích systémů nemůžeme použít princip superpozice.

Analýza různých nelineárních řídicích systémů je velmi obtížná kvůli jejich nelineárnímu chování. Nemůžeme použít konvenční analytické metody, jako je Nyquistův kritérium stability nebo metoda pólů a nul, protože tyto metody jsou omezeny na lineární systémy. Přesto má nelineární systémy několik výhod:

1. Nelineární systémy mohou fungovat lépe než lineární systémy.

2. Nelineární systémy jsou levnější než lineární systémy.

3. Jsou obvykle menší a kompaktnější než lineární systémy.

V praxi mají všechny fyzické systémy nějakou formu nelinearity. Někdy může být dokonce žádoucí záměrně zavést nelinearitu, aby se zlepšila výkonnost systému nebo aby bylo jeho fungování bezpečnější. Výsledkem je, že systém je ekonomičtější než lineární systém.

Jedním z nejjednodušších příkladů systému s záměrně zavedenou nelinearitou je relé řízený nebo ON/OFF systém. Například v typickém domácím topení je pec zapnutá, když teplota klesne pod určitou specifikovanou hodnotu, a vypnutá, když teplota překročí jinou danou hodnotu. Zde budeme diskutovat o dvou různých typech analýzy nebo metodách pro analýzu nelineárních systémů. Dvě metody jsou uvedeny níže a stručně popsány pomocí příkladu.

1. Metoda popisné funkce v řídicím systému

2. Fázová rovina v řídicím systému

Běžné nelinearity

V nejrůznějších typech řídicích systémů nelze vyhnout přítomnosti určitých typů nelinearit. Tyto lze rozdělit na statické nebo dynamické. Systém, u kterého existuje nelineární vztah mezi vstupem a výstupem, který nezahrnuje diferenciální rovnici, se nazývá statická nelinearita. Na druhou stranu, vstup a výstup mohou být spojeny prostřednictvím nelineární diferenciální rovnice. Takový systém se nazývá dynamická nelinearita.
Nyní budeme diskutovat různé typy nelinearit v řídicím systému:

1. Nasycení nelinearita

2. Tření nelinearita

3. Mrtvá zóna nelinearita

4. Relé nelinearita (ON OFF kontrolér)

5. Zpětná nelinearita

Nasycení nelinearita

Nasycení nelinearita je běžný typ nelinearity. Například vidíme tuto nelinearitu v nasycení magnetizační křivky DC motoru. Abychom pochopili tento typ nelinearity, projděme křivku nasycení nebo magnetizační křivku, která je uvedena níže:

Z výše uvedené křivky vidíme, že výstup na začátku ukazuje lineární chování, ale poté dojde k nasycení v křivce, což je jeden typ nelinearity v systému. Ukázali jsme také aproximativní křivku.
Stejný typ nasycení nelinearita můžeme vidět i v zesilovači, kde výstup je úměrný vstupu pouze v omezeném rozsahu hodnot vstupu. Když vstup překročí tento rozsah, výstup se stává nelineární.

Tření nelinearita

Cokoli, co brání relativnímu pohybu tělesa, se nazývá tření. Je to druh nelinearity přítomné v systému. Běžným příkladem je elektrický motor, kde najdeme Coulombovo tření způsobené třením mezi kartáči a komutátorem.

Tření může mít tři typy a jsou uvedeny níže:

1. Statické tření : Jednoduše řečeno, statické tření působí na těleso, když je těleso v klidu.

2. Dynamické tření : Dynamické tření působí na těleso, když existuje relativní pohyb mezi povrchem a tělesem.

3. Limitní tření : Definuje se jako maximální hodnota limitního tření, které působí na těleso, když je v klidu.
   Dynamické tření lze také rozdělit na (a) kluzné tření (b) valivé tření. Kluzné tření působí, když se dvě tělesa posouvají nad sebou, zatímco valivé tření působí, když se tělesa valí nad jiným tělesem.
   V mechanických systémech máme dva typy tření, a to (a) viskózní tření (b) statické tření.

Mrtvá zóna nelinearita

Mrtvá zóna nelinearita se objevuje v různých elektrických zařízeních, jako jsou motory, DC servomotory, aktuátory atd. Mrtvé zóny nelinearity odkazují na stav, kdy výstup se stává nulovým, když vstup překročí určitou limitní hodnotu.

Relé nelinearita (ON/OFF kontrolér)

Elektromechanická relé jsou často používána v řídicích systémech, kde strategie řízení vyžaduje řídicí signál s pouze dvěma nebo třemi stavy. Toto se také nazývá ON/OFF kontrolér nebo dvojstavový kontrolér.

Nelinearita relé (a) ON/OFF (b) ON/OFF s hystereze (c) ON/OFF s mrtvou zónou. Obrázek (a) ukazuje ideální charakteristiky obousměrného relé. V praxi relé neodpovídá okamžitě. Pro proudy mezi dvěma přepínacími okamžiky může relé být v jedné nebo druhé poloze, v závislosti na předchozí historii vstupu. Tato charakteristika se nazývá ON/OFF s hystereze, jak je znázorněno na obrázku (b). Relé má také určitou množství mrtvé zóny v praxi, jak je znázorněno na obrázku (c). Mrtvá zóna je způsobena tím, že cívečka relé vyžaduje určitý proud, aby se pohybovala.

Zpětná nelinearita

Další důležitá nelinearita, která se často vyskytuje v fyzických systémech, je hystereze v mechanických přenosových systémech, jako jsou ozubená kola a spojky. Tato nelinearita je něco jiného než magnetická hystereze a je často nazývána zpětná nelinearita. Zpětná nelinearita je ve skutečnosti hrubá mezera mezi zuby pohonu a zuby poháněného ozubeného kola. Uvažujme převodovku, jak je znázorněno na obrázku (a) s zpětnou nelinearitou, jak je znázorněno na obrázku (b).

Obrázek (b) ukazuje zub A poháněného ozubeného kola umístěný uprostřed zubů B1, B