การตอบสนองชั่วขณะและการตอบสนองในภาวะคงที่ในระบบควบคุม

เมื่อเราศึกษาการวิเคราะห์สถานะชั่วคราวและสถานะคงที่ของระบบควบคุม เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องทราบคำศัพท์พื้นฐานบางคำ และคำเหล่านี้ได้ถูกอธิบายไว้ด้านล่าง
สัญญาณป้อนเข้ามาตรฐาน: สัญญาณเหล่านี้ยังเรียกว่าสัญญาณทดสอบ สัญญาณป้อนเข้ามีความซับซ้อนเนื่องจากอาจเป็นการรวมกันของสัญญาณอื่น ๆ หลายประเภท ทำให้ยากในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพทางคุณลักษณะของระบบใด ๆ โดยใช้สัญญาณเหล่านี้ ดังนั้นเราจึงใช้สัญญาณทดสอบหรือสัญญาณป้อนเข้ามาตรฐานที่ง่ายต่อการจัดการ เราสามารถวิเคราะห์ประสิทธิภาพทางคุณลักษณะของระบบได้ง่ายขึ้นเมื่อเทียบกับสัญญาณป้อนเข้าที่ไม่เป็นมาตรฐาน ขณะนี้มีสัญญาณป้อนเข้ามาตรฐานหลากหลายประเภท ซึ่งได้แสดงไว้ด้านล่าง:

สัญญาณกระตุ้นหน่วย: ในโดเมนเวลา จะแทนด้วย ∂(t) การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันกระตุ้นหน่วยคือ 1 และรูปคลื่นที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันกระตุ้นหน่วยแสดงด้านล่าง

สัญญาณขั้นตอนหน่วย: ในโดเมนเวลา จะแทนด้วย u (t) การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันขั้นตอนหน่วยคือ 1/s และรูปคลื่นที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันขั้นตอนหน่วยแสดงด้านล่าง

สัญญาณแรมป์หน่วย: ในโดเมนเวลา จะแทนด้วย r (t) การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันแรมป์หน่วยคือ 1/s2 และรูปคลื่นที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแรมป์หน่วยแสดงด้านล่าง

สัญญาณพาราโบลา: ในโดเมนเวลา จะแทนด้วย t2/2 การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันพาราโบลาคือ 1/s3 และรูปคลื่นที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันพาราโบลาแสดงด้านล่าง

สัญญาณไซนัส: ในโดเมนเวลา จะแทนด้วย sin (ωt) การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันไซนัสคือ ω / (s2 + ω2) และรูปคลื่นที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไซนัสแสดงด้านล่าง

ชนิดของสัญญาณโคไซน์ : ในโดเมนเวลาจะแสดงโดย cos (ωt) การแปลงลาปลาซของฟังก์ชันชนิดโคไซน์คือ ω/ (s2 + ω2) และรูปคลื่นที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันชนิดโคไซน์แสดงด้านล่างนี้

ตอนนี้เราอยู่ในตำแหน่งที่จะอธิบายสองประเภทของการตอบสนองซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลา

การตอบสนองชั่วคราวของระบบควบคุม

ตามชื่อที่แนะนำ การตอบสนองชั่วคราวของระบบควบคุม หมายถึงการเปลี่ยนแปลง ซึ่งเกิดขึ้นหลักๆ ภายหลังจากสองเงื่อนไข และสองเงื่อนไขนี้เขียนไว้ดังต่อไปนี้-

• เงื่อนไขแรก : ทันทีหลังจากการเปิดระบบ หมายความว่าขณะที่มีการให้สัญญาณขาเข้ากับระบบ

• เงื่อนไขที่สอง : ทันทีหลังจากมีสภาพผิดปกติ สภาพผิดปกติอาจรวมถึงการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันของโหลด การショートวงจร เป็นต้น

การตอบสนองภาวะคงที่ของระบบควบคุม

ภาวะคงที่เกิดขึ้นหลังจากระบบสงบลงและเริ่มทำงานอย่างปกติ การตอบสนองภาวะคงที่ของระบบควบคุม เป็นฟังก์ชันของสัญญาณขาเข้าและเรียกว่าการตอบสนองบังคับ

ตอนนี้การตอบสนองชั่วคราวของ ระบบควบคุม ให้คำอธิบายอย่างชัดเจนว่าระบบทำงานอย่างไรระหว่าง การตอบสนองชั่วคราวและการตอบสนองภาวะคงที่ของระบบควบคุม ให้คำอธิบายอย่างชัดเจนว่าระบบทำงานอย่างไรระหว่างภาวะคงที่ ดังนั้นการวิเคราะห์เวลาของทั้งสองสถานะจึงมีความสำคัญมาก เราจะวิเคราะห์การตอบสนองทั้งสองประเภทแยกกัน ขอเริ่มด้วยการวิเคราะห์การตอบสนองชั่วคราว เพื่อวิเคราะห์การตอบสนองชั่วคราว เราได้มีคุณสมบัติทางเวลาบางอย่างและเขียนไว้ดังต่อไปนี้:
ระยะเวลาความล่าช้า : ระยะเวลาที่แทนด้วย td ระยะเวลาที่จำเป็นสำหรับการตอบสนองเพื่อถึงค่าสุดท้าย 50% ครั้งแรก ระยะเวลาดังกล่าวเรียกว่าระยะเวลาความล่าช้า ระยะเวลาความล่าช้าแสดงอย่างชัดเจนในเส้นโค้งคุณสมบัติทางเวลา

เวลาขึ้น: เวลานี้แทนด้วย tr และสามารถคำนวณได้โดยใช้ สูตรเวลาขึ้น เราจะกำหนดเวลาขึ้นในสองกรณี:

1. ในกรณีของระบบที่มีการชดเชยต่ำ (under damped) โดยค่า ζ น้อยกว่าหนึ่ง ในกรณีนี้เวลาขึ้นถูกกำหนดเป็นเวลาที่จำเป็นสำหรับการตอบสนองเพื่อไปจากค่าศูนย์ถึงร้อยเปอร์เซ็นต์ของค่าสุดท้าย

2. ในกรณีของระบบที่มีการชดเชยสูง (over damped) โดยค่า ζ มากกว่าหนึ่ง ในกรณีนี้เวลาขึ้นถูกกำหนดเป็นเวลาที่จำเป็นสำหรับการตอบสนองเพื่อไปจากสิบเปอร์เซ็นต์ถึงเก้าสิบเปอร์เซ็นต์ของค่าสุดท้าย

เวลาสูงสุด: เวลานี้แทนด้วย tp เวลานี้คือเวลาที่จำเป็นสำหรับการตอบสนองเพื่อไปถึงค่าสูงสุดครั้งแรก เวลานี้เรียกว่าเวลาสูงสุด เวลานี้แสดงอย่างชัดเจนในเส้นโค้งการตอบสนองตามเวลา

เวลาเข้าสู่ภาวะคงที่: เวลานี้แทนด้วย ts และสามารถคำนวณได้โดยใช้ สูตรเวลาเข้าสู่ภาวะคงที่ เวลานี้คือเวลาที่จำเป็นสำหรับการตอบสนองเพื่อไปถึงและอยู่ภายในช่วงที่กำหนดประมาณ (สองเปอร์เซ็นต์ถึงห้าเปอร์เซ็นต์) ของค่าสุดท้ายครั้งแรก เวลานี้เรียกว่าเวลาเข้าสู่ภาวะคงที่ เวลานี้แสดงอย่างชัดเจนในเส้นโค้งการตอบสนองตามเวลา

ความผันผวนสูงสุด: มักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของค่าคงที่และถูกกำหนดเป็นความเบี่ยงเบนทางบวกสูงสุดของการตอบสนองจากค่าที่ต้องการ ที่นี่ค่าที่ต้องการคือค่าคงที่
ความผิดพลาดในภาวะคงที่: ถูกกำหนดเป็นความแตกต่างระหว่างผลลัพธ์จริงกับผลลัพธ์ที่ต้องการเมื่อเวลาเข้าใกล้อนันต์ ตอนนี้เราพร้อมที่จะวิเคราะห์การตอบสนองตามเวลาของระบบระดับที่หนึ่ง

ภาวะชั่วคราวและการตอบสนองในภาวะคงที่ของระบบควบคุมระดับที่หนึ่ง

ขอให้เราพิจารณาแผนภาพบล็อกของระบบระดับที่หนึ่ง

จากแผนภาพบล็อกนี้เราสามารถหาฟังก์ชันโอนที่เป็นเชิงเส้นได้ ฟังก์ชันโอนของระบบระดับที่หนึ่งคือ 1/((sT+1)) เราจะทำการวิเคราะห์การตอบสนองในภาวะคงที่และภาวะชั่วคราวของระบบควบคุมสำหรับสัญญาณมาตรฐานต่อไปนี้

1. แรงกระแทกหน่วย

2. ขั้นตอนหน่วย

3. ลาดหน่วย

การตอบสนองต่อสัญญาณแรงกระแทกหน่วย : เราทราบว่าการแปลงลาปลาซของแรงกระแทกหน่วยคือ 1 ตอนนี้ให้เราใส่สัญญาณมาตรฐานนี้เข้าไปในระบบลำดับที่หนึ่ง เราจะได้

ตอนนี้เมื่อทำการแปลงกลับลาปลาซจากสมการข้างต้น เราจะได้

ชัดเจนว่า การตอบสนองคงที่ของระบบควบคุม ขึ้นอยู่กับค่าคงที่เวลา 'T' เท่านั้น และมีลักษณะเป็นฟังก์ชันที่ลดลงตามเวลา
การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดหน่วย : เราทราบว่าการแปลงลาปลาซของสัญญาณขั้นบันไดหน่วยคือ 1/s ตอนนี้ให้เราใส่สัญญาณมาตรฐานนี้เข้าไปในระบบลำดับที่หนึ่ง เราจะได้

โดยใช้วิธีการแยกเศษส่วนย่อย ทำการแปลงกลับลาปลาซจากสมการข้างต้น เราจะได้

ชัดเจนว่าการตอบสนองตามเวลาขึ้นอยู่กับค่าคงที่เวลา 'T' ในกรณีนี้ความผิดพลาดคงที่เป็นศูนย์เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้ศูนย์
การตอบสนองต่อสัญญาณลาดหน่วย : เราทราบว่าการแปลงลาปลาซของสัญญาณลาดหน่วยคือ 1/s2 ตอนนี้ให้เราใส่สัญญาณมาตรฐานนี้เข้าไปในระบบลำดับที่หนึ่ง เราจะได้

โดยใช้วิธีการแยกเศษส่วนย่อย ทำการแปลงกลับลาปลาซจากสมการข้างต้น เราจะได้

เมื่อพล็อตฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลตามเวลา เราจะได้ 'T' เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้ศูนย์

การตอบสนองสถานะเปลี่ยนแปลงและการตอบสนองสถานะคงที่ของระบบควบคุมลำดับที่สอง

ขอให้พิจารณาแผนภาพบล็อกของระบบลำดับที่สอง

จากแผนภาพบล็อกนี้ เราสามารถหาฟังก์ชันถ่ายโอนรวมที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้ ฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบลำดับที่สองคือ (ω2) / {s (s + 2ζω )} เราจะวิเคราะห์ การตอบสนองสถานะเปลี่ยนแปลงของระบบควบคุม สำหรับสัญญาณมาตรฐานต่อไปนี้

การตอบสนองต่อสัญญาณกระตุ้นหน่วย : เราทราบว่าการแปลงลาปลาซของสัญญาณกระตุ้นหน่วยคือ 1 ตอนนี้ให้เราใส่ข้อมูลมาตรฐานนี้เข้าไปในระบบลำดับที่สอง เราก็จะได้

เมื่อ ω คือความถี่ธรรมชาติในหน่วยเรเดียน/วินาที และ ζ คืออัตราส่วนการชลอ
การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดหน่วย : เราทราบว่าการแปลงลาปลาซของสัญญาณขั้นบันไดหน่วยคือ 1/s ตอนนี้ให้เราใส่ข้อมูลมาตรฐานนี้เข้าไปในระบบลำดับที่หนึ่ง เราก็จะได้

ตอนนี้เราจะดูผลของการมีค่า ζ ที่แตกต่างกัน เราจะมีสามประเภทของระบบตามค่า ζ ที่แตกต่างกัน

1. ระบบไม่เพียงพอ (Under Damped System) : ระบบถูกกล่าวว่าเป็นระบบไม่เพียงพอเมื่อค่าของ ζ น้อยกว่าหนึ่ง ในกรณีนี้รากเป็นจำนวนเชิงซ้อนและส่วนจริงเป็นลบเสมอ ระบบมีเสถียรภาพแบบลู่เข้า เวลาขึ้นต่ำกว่าระบบอื่นๆ และมี overshoot จำกัด

2. ระบบชลอพอดี (Critically Damped System) : ระบบถูกกล่าวว่าเป็นระบบชลอพอดีเมื่อค่าของ ζ เป็นหนึ่ง ในกรณีนี้รากเป็นจำนวนจริงและส่วนจริงเป็นซ้ำๆ ระบบมีเสถียรภาพแบบลู่เข้า เวลาขึ้นต่ำกว่าระบบอื่นๆ และไม่มี overshoot จำกัด

3. ระบบชลอมากเกินไป (Over Damped System) : ระบบถูกกล่าวว่าเป็นระบบชลอมากเกินไปเมื่อค่าของ ζ มากกว่าหนึ่ง ในกรณีนี้รากเป็นจำนวนจริงและแตกต่างกัน ส่วนจริงเป็นลบเสมอ ระบบมีเสถียรภาพแบบลู่เข้า เวลาขึ้นสูงกว่าระบบอื่นๆ และไม่มี overshoot จำกัด

4. การสั่นสะเทือนคงที่ (Sustained Oscillations) : ระบบถูกกล่าวว่าเป็นระบบสั่นสะเทือนคงที่เมื่อค่าของ zeta เป็นศูนย์ ไม่มีการชลอเกิดขึ้นในกรณีนี้

ตอนนี้ขออนุญาตสร้างสมการสำหรับเวลาขึ้น จุดสูงสุด การโอเวอร์ชูต เวลาปรับตัว และความผิดพลาดคงที่สำหรับระบบลำดับที่สองโดยใช้สัญญาณขั้นบันไดหน่วย
เวลาขึ้น (Rise Time) : เพื่อสร้างสมการสำหรับเวลาขึ้น เราต้องแก้สมการ c(t) = 1 จากข้างต้นเราได้

จากการแก้สมการข้างต้นเราได้สมการสำหรับเวลาขึ้นเท่ากับ

จุดสูงสุด (Peak Time) : โดยการหาอนุพันธ์ของ c(t) เราสามารถได้สมการสำหรับจุดสูงสุด dc(t)/ dt = 0 เราได้สมการสำหรับจุดสูงสุด,

การโอเวอร์ชูตสูงสุด (Maximum Overshoot) : จากภาพจะเห็นว่าการโอเวอร์ชูตสูงสุดจะเกิดขึ้นที่จุดสูงสุด tp ดังนั้นเมื่อแทนค่าจุดสูงสุด เราจะได้การโอเวอร์ชูตสูงสุดเป็น

เวลาปรับตัว (Settling Time) : เวลาปรับตัวกำหนดโดยสมการ

ความผิดพลาดคงที่ (Steady State Error) : ความผิดพลาดคงที่คือความแตกต่างระหว่างเอาต์พุตที่แท้จริงและเอาต์พุตที่ต้องการ ดังนั้นเมื่อเวลาเข้าใกล้อนันต์ ความผิดพลาดคงที่จะเท่ากับศูนย์

คำชี้แจง: ให้ความเคารพต่อต้นฉบับ บทความที่ดีมีค่าควรแชร์ หากละเมิดลิขสิทธิ์โปรดติดต่อเพื่อลบ